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Calculando com os egípcios

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Categoria: Matemática Numaboa

Atualização: Domingo, 14 Junho 2009 15:42

Autor: vovó Vicki

Acessos: 38871

Método da vovó para achar frações unitárias

Vamos manter o mesmo exemplo anterior: queremos saber quais são as frações unitárias de 521/1050. Como sabemos, esta fração significa que uma unidade foi dividida em 1050 partes, das quais foram tomadas 521. Podemos representar graficamente esta fração como:

Pois bem, qual é a maior fração unitária que podemos tirar desta fração cuja unidade tem 1050 partes e cujo "pedaço" que queremos tem 521 partes? Podemos usar uma regra de três ou fazer novamente uma representação gráfica. Como a representação gráfica costuma ser mais fácil de entender, vamos começar com ela:

Fica claro que podemos tirar dois "pedaços" de 521 partes e um pedaço menorzinho. Em todo caso, dá para dividir a unidade em três pedaços, mesmo que não sejam do mesmo tamanho. Agora podemos usar uma regra de três para chegar à mesma conclusão. Observem:

1 ... 1050 partes
 \     /
  \   /
   \ /
    \         ? = 521 x 1 / 1050 = 2.015
   / \
  /   \
 /     \
/       \
? ... 521 partes

A montagem da regra de três nos diz o seguinte: 1 (unidade) corresponde a 1050 partes e ? corresponde a 521 partes. O que queremos saber, obviamente, é o valor de ?. Para achar o valor de ? pode-se usar a regra do X: a multiplicação da perna oposta é dividida pelo valor encontrado na perna do ?, ou seja, ? = 521 x 1 / 1050.

O resultado nos diz que o pedaço de 521 partes cabe duas vezes na unidade e ainda sobra um pouquinho.

Mas vamos adiante. Se podemos dividir a unidade em 3 pedaços, a maior fração unitária que podemos obter da fração 521/1050 é 1/3. E quantas partes correspondem a um terço de 1050 partes? Esta é fácil!

1050 / 3 = 350 partes

Se a primeira fração unitária que encontramos corresponde a 350 partes, quantas partes restam da fração original? Este cálculo também é covardia:

521 - 350 = 171

Pois bem, vamos repetir o raciocínio anterior. Se 1050 partes representam a unidade, quantas vezes cabe o pedaço de 171 partes nesta unidade?

São seis partes e mais um pouquinho, o que nos diz que podemos dividir a unidade em 7 partes, ou seja, a próxima fração unitária é 1/7. Só para relembrar, a regra de três nos diz a mesma coisa (seis pedaços e mais um pouquinho):

1 ... 1050 partes
 \     /
  \   /
   \ /
    \         ? = 171 x 1 / 1050 = 6.14
   / \
  /   \
 /     \
/       \
? ... 171 partes

As partes que correspondem a 1/7 das 1050 partes da unidade são:

1050 / 7 = 150 partes

Com a fração unitária 1/3 já "pegamos" 350 partes das 521 que tínhamos; com a fração unitária 1/7, "pegamos" mais 150 partes. Ao todo, já "pegamos" 350 + 150 = 500 partes e nos restam apenas 21 (521 - 500 = 21). Acho que agora podemos usar apenas a regra de três para saber quantas vezes o pedaço de 21 partes cabe na unidade, ou seja,

1 ... 1050 partes |
                  |----- ? = 21 x 1 / 1050 = 50
? ...   21 partes |

Observe que a unidade pode conter exatamente 50 pedaços de 21 partes, ou seja, 21 partes são exatamente 1/50 da unidade... a última fração unitária da qual precisávamos para fechar as contas! Resultado:

521/1050 = 1/3 + 1/7 + 1/50

Taí! Esta é a explicação da vó. Espero que tenha ajudado quem teve dificuldade de acompanhar a explicação anterior.

Fontes

• Egyptian Mathematics
• Dr. R. Knott

Respostas dos problemas propostos

As respostas dos problemas propostos neste módulo você encontra em Cola dos Egípcios