Calculando com os egípcios
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Seg 18 Jul 2005 04:48 |
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- Categoria: Matemática Numaboa
- Atualização: Domingo, 14 Junho 2009 15:42
- Autor: vovó Vicki
- Acessos: 38871
Os egípcios da Antiguidade possuíam um sistema numérico decimal não-posicional, ou seja, a posição ocupada pelos algarismos não tinha influência no valor que representavam. Havia símbolos para 1, 10, 1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000. Os detalhes deste sistema e os símbolos usados são descritos no texto Numerais egípcios.
Usando seus "algarismos", os egípcios faziam adições e subtrações agrupando e rearranjando os símbolos. A multiplicação e a divisão baseavam-se essencialmente em múltiplos binários. As frações eram comumente utilizadas, mas apenas as frações unitárias eram permitidas, com duas honrosas exceções para 2/3 e 3/4. Todas outras eram escritas como a soma de frações de numerador 1. A geometria se limitava a áreas, volumes e similaridade. Os egípcios também resolviam algumas equações algébricas, assim como sistemas de equações de segundo grau.
Parece que a fama dos matemáticos egípcios atravessou fronteiras. Sabe-se que Thales, Pitágoras e outras feras da matemática visitaram o Egito para ampliar seus conhecimentos. Então, nada mais justo do que pegar uma carona e ver o que havia de tão interessante naquela época 
Adição e Subtração
Vamos tomar como exemplo uma adição bem simples: 28 + 5. Observe na figura 1 como o conjunto das unidades foi agrupado e como um conjunto de 10 unidades foi substituído pelo símbolo que corresponde a 10.
A subtração obedecia o critério inverso. Os símbolos que correspondiam ao valor a ser subtraído eram retirados do valor original. Caso fosse necessário, alguns símbolos do valor original podiam ser desmembrados em 10 símbolos do valor imediatamente abaixo dele. A figura 2 mostra como o método era aplicado.
Problema 1: Conhecendo a "mecânica" da adição e da subtração, use algarismos hieroglíficos para calcular 193 + 25
Problema 2: Calcule 539 - 247 usando os algarismos hieroglíficos.
Problema 3: O que acontece quando se calcula 25 - 32? Será que os símbolos que sobram no conjunto do valor 32 podem ser considerados como faltantes ou como valor negativo?
Multiplicação
Os egípcios baseavam as operações de multiplicação dobrando o multiplicando e os resultados obtidos, um jeito muito peculiar (e rápido) de encontrar o resultado desejado. Acompanhe o exemplo abaixo, onde serão usados algarismos arábicos para multiplicar 35 por 12:
35 x 1 = 35 ........ 35 x 1
35 x 2 = 70 ........ 35 x 2
70 x 2 = 140 ........ 35 x 4
140 x 2 = 280 ........ 35 x 8
280 x 2 = 560 ........ 35 x 16
O multiplicador 12 pode ser visto como 4 + 8 = 12. Selecionando 4 e 8 da tabela acima, pode-se escrever a multiplicação de uma outra maneira:
35 x 12 = 35 x (4 + 8)
= (35 x 4) + (35 x 8)
= 140 + 280
35 x 12 = 420
A preguiça é a mãe da invenção 
Para facilitar os cálculos de multiplicação, os egípcios perceberam que dava muito menos trabalho calcular uma tabela de valores dobrados cujos resultados pudessem, posteriormente, ser utilizados numa simples soma. O exercício mostrado a seguir dá uma idéia do ganho de tempo e de esforço:
Problema 4: Quantos passos são necessários para somar 12 vezes o valor 35 e quantos passos são necessários para criar a tabela de valores dobrados e calcular a soma de (35 x 4) + (35 x 8)? Qual é o processo mais eficiente?
Divisão
Se a multiplicação é a soma sucessiva de um determinado valor, a divisão é o número de vezes que determinado valor pode ser subtraído de outro. Por exemplo: 2 x 3 é o mesmo que 2 + 2 + 2 = 6 e 6 ÷ 2 = 3 significa que podemos subtrair 2 de 6 três vezes. Sabendo disso, como é que os egípcios calculavam uma divisão como, por exemplo, 329 ÷ 12? Novamente criavam tabelas de valores dobrados tomando por base o dividendo:
12 x 1 = 12
12 x 2 = 24
12 x 4 = 48
12 x 8 = 96
12 x 16 = 192
12 x 32 = 384
Depois disso, subtraíam do dividendo o valor da tabela que estivesse logo abaixo. Do resultado obtido, subtraíam novamente o valor da tabela logo abaixo e assim sucessivamente até não ser mais possível realizar subtrações como mostrado a seguir:
329 - 192 = 137 ......... (192 = 12 x 16)
137 - 96 = 41 ......... ( 96 = 12 x 8)
41 - 24 = 17 ......... ( 24 = 12 x 2)
17 - 12 = 5 ......... ( 12 = 12 x 1)
Estas operações mostravam que
329 = (12 x 16) + (12 x 8) + (12 x 2) + (12 x 1) + 5
= 12 x (16 + 8 + 2 + 1) + 5
= (12 x 27) + 5
329 = 27 + 5/12
Ora, acabamos de ver que os egípcios não admitiam frações que não fossem unitárias. Como é que ficava a fração 5/12 obtida nesta divisão? Ela era transformada em 5/12 = 1/3 + 1/12 e o resultado era mostrado como:
329 ÷ 12 = 27 + 1/3 + 1/12
:confused: Oooops, como é que a fração 5/12 pode ser transformada em 1/3 + 1/12? Continue a leitura...
Frações egípcias
Uma fração escrita como uma soma de frações unitárias distintas é chamada de fração egípcia. Por exemplo, 2/5 = 1/3 + 1/15. Os egípcios nunca escreviam (e raciocinavam) com 2/5, apenas com 1/3 + 1/15. Qual é a vantagem de se lidar apenas com frações unitárias, também chamadas de recíprocos?
Há duas razões principais:
- A primeira razão é a praticidade. É muito mais fácil dividir 5 sacos de trigo entre 8 pessoas usando frações unitárias do que fazer a mesma divisão pesando 5/8 dos grãos para cada um. Inicialmente podemos dar meio saco para cada um, o que significa que já dividimos 4 sacos (1/2 x 8 = 4). Resta um saco que, se for dividido em 8 partes, dá mais uma parte para cada um. E como dividir em 8 partes é apenas dividir o saco pela metade, estas metades novamente em metades e, finalmente, estas novas metades em metades... dá para fazer a divisão no "olhômetro" Portanto, 5/8 = 1/2 + 1/8.
- A segunda razão é a facilidade de comparar quantidades. Se você não tiver uma calculadora disponível, você é capaz de dizer de pronto se 3/4 é maior do que 4/5? Normalmente precisamos fazer algumas contas, como 3/4 = 15/20 e 4/5 = 16/20, para poder afirmar que 4/5 é maior do que 3/4. Usando frações egípcias não é preciso fazer conta alguma. Veja a seguir:
3/4 = 1/2 + 1/4
4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20
Agora, se a pergunta fosse: o que é maior, 1/2 + 1/4 ou 1/2 + 1/4 + 1/20? A resposta é imediata. E tem mais, sabemos que o segundo valor é 1/20 maior do que o primeiro!
Antes de aprender como obter as frações egípcias, é bom reforçar um pouco a idéia da comparação de frações não unitárias. A tarefa é:
Problema 5: Qual fração é maior, 4/7 ou 5/8?
Problema 6: Qual fração é menor, 3/11 ou 2/7?
Transformando frações em frações egípcias
Como uma fração egípcia representada por n/d é a soma de frações unitárias, todas diferentes, cuja soma é n/b, o cálculo parece ser uma coisa muito rápida... hmmmmm... nem sempre. Para facilitar estes cálculos, utilize a ferramenta abaixo. Esta ferramenta dá apenas um dos vários resultados possíveis.
C A L C U L A D O R AInfinitas possibilidades
Uma fração qualquer pode ser representada como uma soma de frações unitárias de várias formas diferentes se o denominador for menor do que o numerador, ou seja, se em n/d, n for menor do que d. Por exemplo:
3/4 = 1/2 + 1/4
3/4 = 1/2 + 1/8 + 1/12 + 1/24
A pergunta é: quantas somas diferentes de frações unitárias podem representar o valor 3/4? Para isto, vamos considerar a seguinte igualdade:
1 = 1/2 + 1/3 + 1/6
Esta igualdade está correta porque, se transformarmos todas as frações para um denominador comum (18), obtemos os resultado 9/18 + 6/18 + 3/18 = 18/18 = 1. Guardem bem esta igualdade, ela vai servir de apoio para encontrarmos as mais diversas somas de frações unitárias para determinada fração.
3/4 = 1/2 + 1/4 e 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6
Como 1/4 é 1 dividido por 4 então, se dividirmos a igualdade por 4 obtemos
1/1x4 = 1/2x4 + 1/3x4 + 1/6x4
1/4 = 1/8 + 1/12 + 1/24
Este resultado pode substituir o valor 1/4 obtido na primeira soma que representa 3/4, ou seja
3/4 = 1/2 + 1/8 + 1/12 + 1/24
Da mesma forma que substituímos 1/4 por 1/8 + 1/12 + 1/24, podemos substituir 1/24 por outra soma de frações unitárias e obter
3/4 = 1/2 + 1/8 + 1/12 + 1/24
3/4 = 1/2 + 1/8 + 1/12 + 1/48 + 1/72 + 1/144
Este processo pode ser repetido infinitas vezes o que nos leva à conclusão de que existem infinitas somas de frações unitárias que podem representar uma fração. A única restrição é, como já foi dito anteriormente, que o numerador precisa ser menor do que o denominador.
Achando as frações unitárias
O método clássico para se encontrar as frações unitárias que representam uma fração cujo resultado é menor do que 1 é o método de Fibonacci, também conhecido como algoritmo guloso (greedy algorithm). Fibonacci publicou este método no seu livro Liber Abaci editado em 1202. As condições que precisam ser observadas são:
- n/d < 1
- Se n = 1, então o problema está resolvido porque se trata de uma fração unitária
- Estamos interessados em frações onde n > 1
O método consiste em retirar a maior fração de n/d. Com o(s) resto(s), repete-se o processo. Acompanhe o exemplo:
521/1050
1050 ÷ 521 = 2.015
O resultado é maior do que 2 e, o próximo valor maior do que 2 é 3. Neste caso, a maior fração que se pode tirar de 521/1050 é 1/3. E qual é o resto?
521/1050 - 1/3 = ?
1050 ÷ 3 = 350
521/1050 - 1/3 = 521/1050 - 1 x 350/3 x 350
= 521/1050 - 350/1050
= 171/1050
Podemos simplificar a fração 171/1050 dividindo o nominador e o denominador por 3:
171 ÷ 3/1050 ÷ 3 = 57/350
Se o resto é 57/350, retiramos novamente a maior fração deste valor:
57/350
350 ÷ 57 = 6.1403
O resultado é maior do que 6 e, o próximo valor maior do que 6 é 7. Agora, a maior fração que se pode retirar de 57/350 é 1/7. Só que, mais uma vez, há um resto.
57/350 - 1/7 = ?
350 ÷ 7 = 50
57/350 - 1/7 = 57/350 - 1 x 50/7 x 50
= 57/350 - 50/350
= 7/350
Podemos simplificar a fração 7/350 dividindo o numerador e o denominador por 7:
7 ÷ 7/350 ÷ 7 = 1/50
Como o resto é uma fração unitária, a procura das frações unitárias chegou ao fim. Podemos expressar a fração 521/1050 em frações unitárias usando as frações retiradas e o último resto:
251/1050 = 1/3 + 1/7 + 1/50
Está meio complicado? Hoje estava revisando este texto e tive uma idéia de como mostrar um modo mais simples e intuitivo de obter frações unitárias (Fibonacci que me desculpe :blush: ).
Método da vovó 
para achar frações unitárias
Vamos manter o mesmo exemplo anterior: queremos saber quais são as frações unitárias de 521/1050. Como sabemos, esta fração significa que uma unidade foi dividida em 1050 partes, das quais foram tomadas 521. Podemos representar graficamente esta fração como:
| 521 partes | |
| 1050 partes = Unidade | |
Pois bem, qual é a maior fração unitária que podemos tirar desta fração cuja unidade tem 1050 partes e cujo "pedaço" que queremos tem 521 partes? Podemos usar uma regra de três ou fazer novamente uma representação gráfica. Como a representação gráfica costuma ser mais fácil de entender, vamos começar com ela:
| 1050 partes = Unidade | ||
| 521 partes | 521 partes | ... |
Fica claro que podemos tirar dois "pedaços" de 521 partes e um pedaço menorzinho. Em todo caso, dá para dividir a unidade em três pedaços, mesmo que não sejam do mesmo tamanho. Agora podemos usar uma regra de três para chegar à mesma conclusão. Observem:
1 ... 1050 partes
\ /
\ /
\ /
\ ? = 521 x 1 / 1050 = 2.015
/ \
/ \
/ \
/ \
? ... 521 partes
A montagem da regra de três nos diz o seguinte: 1 (unidade) corresponde a 1050 partes e ? corresponde a 521 partes. O que queremos saber, obviamente, é o valor de ?. Para achar o valor de ? pode-se usar a regra do X: a multiplicação da perna oposta é dividida pelo valor encontrado na perna do ?, ou seja, ? = 521 x 1 / 1050.
O resultado nos diz que o pedaço de 521 partes cabe duas vezes na unidade e ainda sobra um pouquinho.
Mas vamos adiante. Se podemos dividir a unidade em 3 pedaços, a maior fração unitária que podemos obter da fração 521/1050 é 1/3. E quantas partes correspondem a um terço de 1050 partes? Esta é fácil!
1050 / 3 = 350 partes
Se a primeira fração unitária que encontramos corresponde a 350 partes, quantas partes restam da fração original? Este cálculo também é covardia:
521 - 350 = 171
Pois bem, vamos repetir o raciocínio anterior. Se 1050 partes representam a unidade, quantas vezes cabe o pedaço de 171 partes nesta unidade?
| 1050 partes = Unidade | ||||||
| 171 partes | 171 partes | 171 partes | 171 partes | 171 partes | 171 partes | ... |
São seis partes e mais um pouquinho, o que nos diz que podemos dividir a unidade em 7 partes, ou seja, a próxima fração unitária é 1/7. Só para relembrar, a regra de três nos diz a mesma coisa (seis pedaços e mais um pouquinho):
1 ... 1050 partes
\ /
\ /
\ /
\ ? = 171 x 1 / 1050 = 6.14
/ \
/ \
/ \
/ \
? ... 171 partes
As partes que correspondem a 1/7 das 1050 partes da unidade são:
1050 / 7 = 150 partes
Com a fração unitária 1/3 já "pegamos" 350 partes das 521 que tínhamos; com a fração unitária 1/7, "pegamos" mais 150 partes. Ao todo, já "pegamos" 350 + 150 = 500 partes e nos restam apenas 21 (521 - 500 = 21). Acho que agora podemos usar apenas a regra de três para saber quantas vezes o pedaço de 21 partes cabe na unidade, ou seja,
1 ... 1050 partes |
|----- ? = 21 x 1 / 1050 = 50
? ... 21 partes |
Observe que a unidade pode conter exatamente 50 pedaços de 21 partes, ou seja, 21 partes são exatamente 1/50 da unidade... a última fração unitária da qual precisávamos para fechar as contas! Resultado:
521/1050 = 1/3 + 1/7 + 1/50
Taí! Esta é a explicação da vó. Espero que tenha ajudado quem teve dificuldade de acompanhar a explicação anterior.
Fontes
Respostas dos problemas propostos
As respostas dos problemas propostos neste módulo você encontra em Cola dos Egípcios