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Calculando com os egípcios

Detalhes

Categoria: Matemática Numaboa

Atualização: Domingo, 14 Junho 2009 15:42

Autor: vovó Vicki

Acessos: 38870

Os egípcios da Antiguidade possuíam um sistema numérico decimal não-posicional, ou seja, a posição ocupada pelos algarismos não tinha influência no valor que representavam. Havia símbolos para 1, 10, 1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000. Os detalhes deste sistema e os símbolos usados são descritos no texto Numerais egípcios.

Usando seus "algarismos", os egípcios faziam adições e subtrações agrupando e rearranjando os símbolos. A multiplicação e a divisão baseavam-se essencialmente em múltiplos binários. As frações eram comumente utilizadas, mas apenas as frações unitárias eram permitidas, com duas honrosas exceções para 2/3 e 3/4. Todas outras eram escritas como a soma de frações de numerador 1. A geometria se limitava a áreas, volumes e similaridade. Os egípcios também resolviam algumas equações algébricas, assim como sistemas de equações de segundo grau.

Parece que a fama dos matemáticos egípcios atravessou fronteiras. Sabe-se que Thales, Pitágoras e outras feras da matemática visitaram o Egito para ampliar seus conhecimentos. Então, nada mais justo do que pegar uma carona e ver o que havia de tão interessante naquela época

Adição e Subtração

Vamos tomar como exemplo uma adição bem simples: 28 + 5. Observe na figura 1 como o conjunto das unidades foi agrupado e como um conjunto de 10 unidades foi substituído pelo símbolo que corresponde a 10.

Fig.1 - Somando com algarismos hieroglíficos

A subtração obedecia o critério inverso. Os símbolos que correspondiam ao valor a ser subtraído eram retirados do valor original. Caso fosse necessário, alguns símbolos do valor original podiam ser desmembrados em 10 símbolos do valor imediatamente abaixo dele. A figura 2 mostra como o método era aplicado.

Fig.2 - Subtraindo com algarismos hieroglíficos

Problema 1: Conhecendo a "mecânica" da adição e da subtração, use algarismos hieroglíficos para calcular 193 + 25

Problema 2: Calcule 539 - 247 usando os algarismos hieroglíficos.

Problema 3: O que acontece quando se calcula 25 - 32? Será que os símbolos que sobram no conjunto do valor 32 podem ser considerados como faltantes ou como valor negativo?

Multiplicação

Os egípcios baseavam as operações de multiplicação dobrando o multiplicando e os resultados obtidos, um jeito muito peculiar (e rápido) de encontrar o resultado desejado. Acompanhe o exemplo abaixo, onde serão usados algarismos arábicos para multiplicar 35 por 12:

     35 x 1 =  35  ........ 35 x  1
     35 x 2 =  70  ........ 35 x  2
     70 x 2 = 140  ........ 35 x  4
    140 x 2 = 280  ........ 35 x  8
    280 x 2 = 560  ........ 35 x 16

O multiplicador 12 pode ser visto como 4 + 8 = 12. Selecionando 4 e 8 da tabela acima, pode-se escrever a multiplicação de uma outra maneira:

     35 x 12 = 35 x (4 + 8)
             = (35 x 4) + (35 x 8)
             = 140 + 280
     35 x 12 = 420

A preguiça é a mãe da invenção Para facilitar os cálculos de multiplicação, os egípcios perceberam que dava muito menos trabalho calcular uma tabela de valores dobrados cujos resultados pudessem, posteriormente, ser utilizados numa simples soma. O exercício mostrado a seguir dá uma idéia do ganho de tempo e de esforço:

Problema 4: Quantos passos são necessários para somar 12 vezes o valor 35 e quantos passos são necessários para criar a tabela de valores dobrados e calcular a soma de (35 x 4) + (35 x 8)? Qual é o processo mais eficiente?

Divisão

Se a multiplicação é a soma sucessiva de um determinado valor, a divisão é o número de vezes que determinado valor pode ser subtraído de outro. Por exemplo: 2 x 3 é o mesmo que 2 + 2 + 2 = 6 e 6 ÷ 2 = 3 significa que podemos subtrair 2 de 6 três vezes. Sabendo disso, como é que os egípcios calculavam uma divisão como, por exemplo, 329 ÷ 12? Novamente criavam tabelas de valores dobrados tomando por base o dividendo:

     12 x  1 =  12
     12 x  2 =  24
     12 x  4 =  48
     12 x  8 =  96
     12 x 16 = 192
     12 x 32 = 384

Depois disso, subtraíam do dividendo o valor da tabela que estivesse logo abaixo. Do resultado obtido, subtraíam novamente o valor da tabela logo abaixo e assim sucessivamente até não ser mais possível realizar subtrações como mostrado a seguir:

     329 - 192 = 137  ......... (192 = 12 x 16)
     137 -  96 =  41  ......... ( 96 = 12 x  8)
      41 -  24 =  17  ......... ( 24 = 12 x  2)
      17 -  12 =   5  ......... ( 12 = 12 x  1)

Estas operações mostravam que

     329 = (12 x 16) + (12 x 8) + (12 x 2) + (12 x 1) + 5
         = 12 x (16 + 8 + 2 + 1) + 5
         = (12 x 27) + 5
     329 = 27 + 5/12

Ora, acabamos de ver que os egípcios não admitiam frações que não fossem unitárias. Como é que ficava a fração 5/12 obtida nesta divisão? Ela era transformada em 5/12 = 1/3 + 1/12 e o resultado era mostrado como:

     329 ÷ 12 = 27 + 1/3 + 1/12

:confused: Oooops, como é que a fração 5/12 pode ser transformada em 1/3 + 1/12? Continue a leitura...