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Numerais babilônicos

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Categoria: Matemática Numaboa

Atualização: Domingo, 14 Junho 2009 14:35

Autor: vovó Vicki

Acessos: 78099

A notação sexagesimal babilônica

Não há dúvida de que os babilônios adotaram o sistema na base 60 dos sumérios e acadianos. Se fizeram isto, porque é que se dá tanta importância aos babilônios? É porque introduziram um conceito importantíssimo, que alguns consideram como sendo a maior aquisição já realizada na matemática: um sistema numérico posicional.

Sistemas numéricos posicionais possuem algumas características importantes. Para ilustrar duas delas usaremos como exemplo o valor 12345 no sistema decimal (com o qual estamos mais familiarizados):

• O número deve ser lido da esquerda para a direita, ou seja, começamos pelo 1.
• Parece meio ilógico, mas, quando lemos apenas o primeiro dígito do número, não podemos prever o valor que iremos encontrar. É preciso ler todos os dígitos para descobrir qual é a potência de 10 associada a este dígito.

O número 12345, na verdade, representa (1 x 10⁴) + (2 x 10³) + (3 x 10²) + (4 x 10¹) + (5 x 10⁰), ou seja, 10.000 + 2.000 + 300 + 40 + 5. O valor de cada casa decimal é multiplicado pela base numérica elevada a uma potência que corresponde à sua posição.

Se mudarmos a base do sistema numérico, o valor representado por 12345 também muda. Por exemplo, se a base for 6, o número 12345 representa (1 x 6⁴) + (2 x 6³) + (3 x 6²) + (4 x 6¹) + (5 x 6⁰), que corresponde a (1 x 1296) + (2 x 216) + (3 x 36) + (4 x 6) + (5 x 1) = 1296 + 432 + 108 + 24 + 5 = 1865. Se a "mecânica" dos sistemas numéricos posicionais ficou clara, a lição a seguir não deve ser difícil de fazer

Tarefa 2: Qual é o valor decimal de 12345, escrito na base 8? E se a base for 4? É possível encontrar o valor decimal de 12345 escrito num sistema numérico de base 4?

Conhecendo a influência da base de um sistema numérico, podemos expressar o valor 12345 no sistema dos babilônios: (1 x 60⁴) + (2 x 60³) + (3 x 60²) + (4 x 60¹) + (5 x 60⁰) = (1 x 12.960.000) + (2 x 216.000) + (3 x 3.600) + (2 x 60) + 5 x 1) = 12.960.000 + 432.000 + 10.800 + 120 + 5 = 13.402.925. Este é o valor decimal de 12345 escrito no sistema sexagesimal.

"Probleminhas" com a notação babilônica

O sistema decimal (base 10) possui 10 algarismos diferentes se incluirmos o zero. O sistema babilônico (base 60) possui 59 símbolos e o zero, ou "nada", é representado por um espaço. Acontece que existem símbolos compostos no sistema babilônico, por exemplo, o "algarismo" 23. Se não separmos de alguma forma as casas, não é possível saber se 12345 é o valor que calculamos acima ou se é 1 23 4 5 que corresponde ao valor (1 x 60³) + (23 x 60²) + (4 x 60¹) + (5 x 60⁰) = (1 x 260.000) + (23 x 3600) + (4 x 60) + (5 x 1) = 260.000 + 82.800 + 240 = 5 = 343.045. Se forem deixados espaços entre os algarismos vai haver confusão com o zero, que é representado por um espaço. O jeito é usar delimitadores, por exemplo vírgulas. Aplicando-se esta convenção eliminamos eventuais dúvidas e fica claro que 1,2,3,4,5 é diferente de 1,23,4,5.

Resolvida a notação dos valores inteiros, resta convencionar como será a notação de valores fracionários. Por exemplo, no sistema decimal, quando escrevemos 0.125 queremos dizer 1/10¹ + 2/10² + 5/10³. Transformando estas frações para a mesma base, obtemos (1 x 100)/(10 x 100) + (2 x 10)/(100 x 10) + 5/1000 = 100/1000 + 20/1000 + 5/1000 = 125/1000. Esta fração pode ser simplificada para 25/200 = 5/40 = 1/8. No sistema babilônico podemos representar o mesmo valor como 0;7,30. O ponto e vírgula pode ser usado para separar a parte inteira da fracionária, ou seja, 0;7,30 indica que há 0 inteiros. Já a parte fracionária, analogamente ao sistema decimal, é representada por 7/60¹ + 30/60². Transformando estas frações para a mesma base obtemos 7/60 + 30/3600 = (7 x 60)/(60 x 60) + 30/3600 = 420/3600 + 30/3600 = 450/3600 e, simplificando o resultado, chegamos a 450/3600 = (2 x 3² x 5²) / (2⁴ x 3² x 5²) = 1/2³ = 1/8.

Tarefa 3: Calcule o valor decimal de 10,12,5;1,52,30.

Transformando valores decimais em sexagesimais

Já vimos que, para transformar valores sexagesimais em decimais, basta mudar a base do sistema. Mas como fazer a operação inversa? O método mais simples para transformar valores decimais em sexagesimais (ou em valores de qualquer outra base) é o das divisões sucessivas. Tomemos como exemplo o valor decimal 53429. Os algarismos sexagesimais podem ser determinados da seguinte maneira:

     53429 ÷ 60 = 890 e resta 29
       890 ÷ 60 =  14 e resta 50
        14 ÷ 60 =   0 e resta 14

Os algarismos que compõem o número sexagesimal são os restos encontrados, dispostos na ordem inversa, ou seja: 14,50,29. Para conferir o resultado, é só fazer a conversão inversa que já conhecemos: (14 x 60²) + (50 x 60¹) + (29 x 60⁰) = (14 x 3600) + (50 x 60) + (29 x 1) = 50400 + 3000 + 29 = 53429.

Tarefa 4: Encontre os algarismos sexagesimais que compõem os valores decimais 147 e 21609. Como seria a notação destes mesmos valores no sistema de base 30?

Fontes

• School of Mathematics and Statistics da Universidade de St. Andrews, na Escócia.