Aritmética Modular *
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Seg 18 Abr 2005 06:42 |
- Detalhes
- Categoria: Ferramentas Matemáticas
- Atualização: Domingo, 12 Abril 2009 12:36
- Autor: vovó Vicki
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A aritmética modular, apesar de muito simples, costuma dar nó na cabeça de muita gente. Como é que 10 + 4 pode ser 2 no módulo 12? Este cálculo pode ser feito com facilidade se lembrarmos do relógio: 10 + 4 = 14 horas ou 2 horas da tarde 
Quando lidamos com um número finito de inteiros, os resultados obtidos nas operações de soma, subtração, multiplicação e divisão precisam ser ajustados para que permaneçam dentro do conjunto dos inteiros disponíveis. Estas operações funcionam como o ponteiro das horas do relógio, motivo pelo qual esta aritmética também é conhecida como circular.
Na soma, o ponteiro é deslocado no sentido horário (para frente) e, quando alcançar 11 horas, a próxima será 12 ou Zero hora. O ponteiro volta para a estaca zero porque o módulo 12 só possui os inteiros de 0 a 11 para expressar valores. Além disso, toda vez que somarmos um múltiplo de 12 a qualquer hora, o ponteiro não muda de lugar.
Na subtração, o ponteiro é deslocado no sentido anti-horário (para trás) e, quando alcançar 1 hora, a próxima será a Zero hora. Toda vez que subtrairmos um múltiplo de 12 de qualquer hora, o ponteiro não muda de lugar.
A multiplicação é a soma sucessiva de determinado valor, tantas vezes quanto indicar o multiplicador: 12 x 3 = 36 horas, assim como 12 + 12 + 12 = 36 horas. A divisão é a subtração sucessiva de determinado valor (o divisor) do dividendo enquanto o resultado for maior do que o divisor: 18 / 6 = 3 horas, assim como 18 - 6 - 6 - 6 = 0 indica que foi possível subtrair 3 vezes o divisor 6 do dividendo 18.
Quando o módulo é 12, a conhecida configuração do relógio quebra uma galhão, mas para fazer cálculos em módulos diferentes uma ferramenta quebra um galho ainda maior. Então, aí vai:
SOMA MODULAR
SUBTRAÇÃO MODULAR
MULTIPLICAÇÃO MODULAR
DIVISÃO MODULAR
A divisão modular só funciona para módulos primos. Caso o valor do módulo não seja um número primo, várias divisões diferentes podem ter o mesmo resultado. Os módulos aceitos são os números primos de 2 até 199.
Um exemplo de divisão com módulo primo é 6/5 = 4 (mod 7). Como se acha o resultado? Promove-se o dividendo a um conjunto de números cujo resultado no módulo 7 seja sempre o mesmo, ou seja, 6 = 6 + 7 = 6 + 7 + 7 = ... pois 6 (mod 7) = 6, 6 + 7 = 13 mod(7) = 6 e assim sucessivamente. Repete-se esta operação até encontrar um número que seja divisível por 5 e se efetua a operação: 6 + 7 + 7 = 20 e 20/5 = 4 (mod 7).
Divirtam-se com o meu javascript.
vovó Vicki