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Cola dos babilônios

Detalhes

Categoria: Cola de matemática

Atualização: Domingo, 10 Janeiro 2010 00:27

Autor: vovó Vicki

Acessos: 10603

Na aula de "Numerais babilônicos" foram apresentadas 4 tarefas. Confira suas soluções com as apresentadas aqui na cola dos babilônios.

Tarefa 1: Para fixar bem este modo diferente de expressar quantidades, a primeira tarefa desta aula é montar uma tabela com os valores babilônicos de 1 a 59.

Tarefa 2: Qual é o valor decimal de 12345, escrito na base 8? E se a base for 4? É possível encontrar o valor decimal de 12345 escrito num sistema numérico de base 4?

• Transformando o valor 12345 na base 8 para seu valor decimal:

     (1 x 84) + (2 x 83) + (3 x 82) + (4 x 81) + (5 x 80) =
     (1 x 4096) + (2 x 512) + (3 x 64) + (4 x 8) + (5 x 1) =
     4096 + 1024 + 192 + 32 + 5 = 5349

Solução: 12345 na base 8 é igual a 5349 na base 10.

Observe que, como no sistema de base 8 só existem 8 algarismos para representar os valores, para expressar o valor 5349 foi preciso usar 5 algarismos. Como o sistema decimal oferece 10 símbolos diferentes, o valor 5349 só precisou de 4 algarismos.

• É possível encontrar o valor decimal de 12345 escrito num sistema numérico de base 4?

A base dos sistemas numéricos indicam quantos símbolos estão disponíveis para representar valores. Assim, o sistema decimal possui 10 símbolos (de 0 a 9), o sistema octal oferece 8 valores (de 0 a 7) e o sistema babilônico tem 60 símbolos (espaço e de 1 a 59). É claro que um sistema de base 4 só pode ter 4 símbolos (de 0 a 3), o que torna impossível escrever um número composto por algarismos diferentes de 0, 1, 2 ou 3.

Solução: 12345 não pode estar representanado nenhum valor na base 4 porque possui 5 símbolos diferentes (sem considerar o zero que não aparece neste número).

Tarefa 3: Calcule o valor decimal de 10,12,5;1,52,30.

De acordo com a convenção adotada na aula Numerais babilônicos, a vírgula é usada para separar os algarismos e o ponto e vírgula é usado para separar a porção inteira da parte decimal. Neste caso, a parte inteira será

     (10 x 602) + (12 x 601) + (5 x 600) =
     (10 x 3600) + (12 x 60) + (5 x 1) =
     36000 + 720 + 5 = 36725

e a parte fracionária será

     1/601 + 52/602 + 30/603 =
     (1 x 602)/(601 x 602) + (52 x 601)/602 x 601) + 30/603 =
     602/603 + (52 x 60)/603 + 30/603 =
     (3600 + 3120 + 30)/216000 =
     6750/216000 = (2 x 33 x 53)/(2 x 25 x 33 x 53) =
     1/25 = 1/32 = 0,03125

Solução: o valor decimal de 10,12,5;1,52,30 é 36725 + 1/32 ou 36725,03125.

Tarefa 4: Encontre os algarismos sexagesimais que compõem os valores decimais 147 e 21609. Como seria a notação destes mesmos valores no sistema de base 30?

• Os algarismos sexagesimais que compõem o valor decimal 147 são:

     147 ÷ 60 = 2 e resta 27
       2 ÷ 60 = 0 e resta  2

Solução: Os algarismos babilônicos que representam o valor decimal 147 são 2,27

147 decimal = 2,27

• Os algarismos sexagesimais que compõem o valor decimal 21609 são:

     21609 ÷ 60 = 360 e resta 9
       360 ÷ 60 =   6 e resta 0
         6 ÷ 60 =   0 e resta 6

Solução: Os algarismos babilônicos que representam o valor decimal 21609 são 6, ,9

21609 decimal = 6, ,9

• Como seria a notação de 147 no sistema de base 30?

No sistema numérico de base 30 existem 30 símbolos ou algarismos disponíveis (de 0 a 29). Para representar o valor decimal 147 na base 30 calcula-se:

     147 ÷ 30 = 4 e resta 27
       4 ÷ 30 = 0 e resta  4

Solução: Os "algarismos" que representam 147 na base 30 são 4,27.

• Como seria a notação de 21609 no sistema de base 30?

     21609 ÷ 30 = 720 e resta 18
       720 ÷ 30 =  24 e resta  0
        24 ÷ 30 =   0 e resta 24

Solução: Os "algarismos" que representam 21609 na base 30 são 24,0,18.