Cálculo de Relógio de Sol com Quadrante Plano
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Seg 8 Ago 2005 01:17 |
- Detalhes
- Categoria: Relógios
- Atualização: Domingo, 14 Junho 2009 16:19
- Autor: Acácio
- Acessos: 17674
O presente texto demonstra como deduzir as expressões que permitem o cálculo de quadrantes planos para relógios de sol. De fato, as fórmulas deduzidas são gerais e servem também para relógios com gnômom equatorial. É necessário algum conhecimento sobre o tema pois não discuto aqui o funcionamento de um relógio de sol. Toda a dedução é baseada em uma única figura e somente trigonometria plana é utilizada. Por fim, primeiro demonstro o cálculo das linhas horárias e em seguida o cálculo das linhas de declinação.
Para começar, vamos examinar a figura abaixo.
O semi-círculo maior representa a abóbada celeste vista por um observador externo. Existem três pontos importantes ao longo desse círculo: o equador celeste, o zênite e o pólo celeste. O centro desse círculo é o ponto de vista do observador na terra, onde está o gnômom do relógio (não representado na figura). R é o raio da esfera e as duas retas inclinadas para a esquerda representam as trajetórias aparentes do sol nos equinócios (sobre o equador) e no solstício quando o sol tem declinação D.
Linhas Horárias
Para calcular e traçar as linhas horárias vamos inicialmente considerar que quando o sol está no equinócio, ele descreve um semi-círculo sobre o equador (linha vermelha). Neste caso, um gnômom inclinado para o equador não projeta sombra no sentido norte/sul. A trajetória percorrida pela ponta da sombra do gnômom é uma reta. No quadrante horizontal essa reta está afastada do gnômom de g * tg L (altura do gnômom X tangente da Latitude). É sobre essa reta que encontraremos os pontos para traçar as linhas horárias com vértice na extremidade traseira do gnômom (fig 2).
Como a ponta da sombra descreve uma reta, para saber onde a sombra estará num determinado momento basta conhecer o ângulo horário e a altura do gnômom. A componente x da sombra é dada por:
x = g * tg H
onde g = altura do gnômom e H = ângulo horário (12 - hora)*15
Encontrados os pontos para cada hora, basta traçarmos retas do vértice passando por cada um desses pontos e teremos as linhas horárias (fig 2).
Linhas de Declinação
O cálculo das linhas horárias é simples, se você entender que ele é baseado no fato de a sombra do gnômom descrever uma reta e por isso eu não dei muitos detalhes. Para calcular as linhas de declinação vamos considerar que, uma vez que já obtivemos as linhas horárias, já temos uma direção do ponto que queremos achar. Na figura 1 a linha verde representa a trajetória do sol quando ele tem declinação D. O segmento de círculo vermelho, com raio r, representa a trajetória do sol vista do polo. Numa determinada hora, o sol forma o ângulo horário H com o zênite. A linha azul é a projeção da posição do sol nesta hora sobre a trajetória anterior (vista de perfil). Nessa hora, o sol está a uma altura dada pelo ângulo Z do observador terrestre (centro do círculo maior). Para determinarmos o comprimento da sombra neste momento, basta conhecermos este ângulo Z. Atribuindo o valor 1 ao raio R da abóbada, pela figura, temos:
(a) b = sen D
(b) r = cos D
(c) b/r = tg D
(d) a/r = cos H ---------> a = r*cos H --------> a = cos D * cos H
(e) b/a = tg Z
Logo: tg Z = sen D/ cos D * cos H
tg Z = tg D / cos H
Se este é o ângulo que fornece a altura do sol quando o sol tem ângulo horário H, então para um gnômom de altura g, situado em uma latitude L, teremos:
l = g * tg (Z - L)
l = g * tg ( atan( tg D / cos H) - L)
l = g * tg (atan( tg D / cos( (12-hora)*15)) - L)
Onde l é o comprimento da linha horária dada pelo ângulo H.
Comprimento medido a partir da base do gnômom, perpendicularmente à reta dos equinócios.
A subtração do ângulo L, da latitude, deve-se ao fato de o gnômom ter orientação vertical (não está alinhado com o equador) e pode ser facilmente verificada
Finalmente, medir o comprimento dessas linhas fica mais fácil a partir da reta equinocial. Assim, é conveniente adicionarmos na expressão acima a distância que separa o gnômom dessa reta:
l = g * tg (atan( tg D / cos( (12-hora)*15)) - L) + (g * tg L)
Simplificando:
l = g * (tg (atan( tg D / cos( (12-hora)*15)) - L) + tg L)
A figura abaixo mostra como exemplo meio quadrante para a latitude -23,68. A linha azul é o comprimento calculado para as 8h (H = 60º) e as linhas cinzas indicam os comprimento calculados com a expressão l = g * (tg (atan( tg D / cos( (12-hora)*15)) - L) + tg L). A curva vermelha indica o solstício de verão (D = -23.5) e a verde o solstício de inverno (D = +23.5).
Para calcular linhas de datas especiais basta saber a declinação do sol nesta data, calcular os comprimentos das linhas horárias, medí-los a partir da reta equinocial e traçar a curva ligando-se os pontos sobre as linhas horárias.
Exemplo:
g = 2
Declinação= -23.5 (Solstício de verão)
Latitude = -23.68
hora x y
--------------------------
7 / 17 7,4641 -2,3067
8 / 16 3,4641 -1,5012
9 / 15 2,0000 -1,1549
10 / 14 1,1547 -0,9812
11 / 13 0,5359 -0,8965
12 0,0000 -0,8708
Os valores negativos na coluna y significam medidas para baixo em relação a reta equinocial. Unindo-se esses pontos tem-se a curva do solstício de verão.
Para o solstício de inverno, a declinação é 23,5 (positiva) e temos:
hora x y
--------------------------
7 / 17 7,4641 15,2190
8 / 16 3,4641 3,3522
9 / 15 2,0000 2,0078
10 / 14 1,1547 1,5353
11 / 13 0,5359 1,3375
12 0,0000 1,2812