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Cálculo de Relógio de Sol com Quadrante Plano

Detalhes

Categoria: Relógios

Atualização: Domingo, 14 Junho 2009 16:19

Autor: Acácio

Acessos: 17299

Linhas de Declinação

O cálculo das linhas horárias é simples, se você entender que ele é baseado no fato de a sombra do gnômom descrever uma reta e por isso eu não dei muitos detalhes. Para calcular as linhas de declinação vamos considerar que, uma vez que já obtivemos as linhas horárias, já temos uma direção do ponto que queremos achar. Na figura 1 a linha verde representa a trajetória do sol quando ele tem declinação D. O segmento de círculo vermelho, com raio r, representa a trajetória do sol vista do polo. Numa determinada hora, o sol forma o ângulo horário H com o zênite. A linha azul é a projeção da posição do sol nesta hora sobre a trajetória anterior (vista de perfil). Nessa hora, o sol está a uma altura dada pelo ângulo Z do observador terrestre (centro do círculo maior). Para determinarmos o comprimento da sombra neste momento, basta conhecermos este ângulo Z. Atribuindo o valor 1 ao raio R da abóbada, pela figura, temos:

     (a) b = sen D
     (b) r = cos D
     (c) b/r = tg D
     (d) a/r = cos H ---------> a = r*cos H --------> a = cos D * cos H
     (e) b/a = tg Z

     Logo: tg Z = sen D/ cos D * cos H

     tg Z = tg D / cos H

Se este é o ângulo que fornece a altura do sol quando o sol tem ângulo horário H, então para um gnômom de altura g, situado em uma latitude L, teremos:

     l = g * tg (Z - L)

     l = g * tg ( atan( tg D / cos H) - L)

     l = g * tg (atan( tg D / cos( (12-hora)*15)) - L)

     Onde l é o comprimento da linha horária dada pelo ângulo H.
     Comprimento medido a partir da base do gnômom, perpendicularmente à reta dos equinócios.

A subtração do ângulo L, da latitude, deve-se ao fato de o gnômom ter orientação vertical (não está alinhado com o equador) e pode ser facilmente verificada

Finalmente, medir o comprimento dessas linhas fica mais fácil a partir da reta equinocial. Assim, é conveniente adicionarmos na expressão acima a distância que separa o gnômom dessa reta:

     l = g * tg (atan( tg D / cos( (12-hora)*15)) - L) + (g * tg L)

     Simplificando:

     l = g * (tg (atan( tg D / cos( (12-hora)*15)) - L) + tg L)

A figura abaixo mostra como exemplo meio quadrante para a latitude -23,68. A linha azul é o comprimento calculado para as 8h (H = 60º) e as linhas cinzas indicam os comprimento calculados com a expressão l = g * (tg (atan( tg D / cos( (12-hora)*15)) - L) + tg L). A curva vermelha indica o solstício de verão (D = -23.5) e a verde o solstício de inverno (D = +23.5).

Fig.3 - Meio quadrante para a latitude -23,68

Para calcular linhas de datas especiais basta saber a declinação do sol nesta data, calcular os comprimentos das linhas horárias, medí-los a partir da reta equinocial e traçar a curva ligando-se os pontos sobre as linhas horárias.

Exemplo:

     g = 2
     Declinação= -23.5 (Solstício de verão)
     Latitude = -23.68

      hora 	   x 	   y
     --------------------------
      7 / 17 	7,4641 	-2,3067
      8 / 16 	3,4641 	-1,5012
      9 / 15 	2,0000 	-1,1549
     10 / 14 	1,1547 	-0,9812
     11 / 13 	0,5359 	-0,8965
     12 	0,0000 	-0,8708

Os valores negativos na coluna y significam medidas para baixo em relação a reta equinocial. Unindo-se esses pontos tem-se a curva do solstício de verão.

Para o solstício de inverno, a declinação é 23,5 (positiva) e temos:

      hora  	   x  	   y
     --------------------------
      7 / 17 	7,4641 	15,2190
      8 / 16 	3,4641 	3,3522
      9 / 15 	2,0000 	2,0078
     10 / 14 	1,1547 	1,5353
     11 / 13 	0,5359 	1,3375
     12 	0,0000 	1,2812