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Categoria: Laboratório de Matemática

Atualização: Domingo, 21 Fevereiro 2010 13:00

Autor: Cláudio Leal Domingos

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Diz a Matemática que não se sabe como calcular números primos: são números sem divisores, apenas divisíveis por si mesmo e pela unidade. Uma das questões matemáticas mais antigas, pendente de esclarecimento, é a de que números primos não têm um padrão - são caóticos e não existe um processo matemático para determiná-los com precisão na linha dos números.

Apesar de complexos, existem modos para determinar a primalidade, para saber se um número é ou não é primo, mas não existe uma fórmula matemática para criá-los. O processo ainda hoje utilizado para identificar números primos é o chamado Crivo de Erastótenes (Matemático grego – 276/194 a.C), pelo qual vai se excluindo os números que têm divisores até restarem apenas os primos. Muitos matemáticos têm buscado resolver a questão dos números primos, e alguns deles dedicaram parte de sua vida a isso, mas os resultados têm sido parciais. Em 2002, dois indianos anunciaram um algoritmo para, através do computador, encontrar números primos, mas o processo, mesmo assim, ainda é bastante complexo. Enfim, em tese, primos são números caóticos. É com base nesse fato que a criptografia se apóia para esconder informação e criar senhas na informática. A descoberta de uma solução para números primos significaria, aparentemente, um abalo na segurança criptográfica computacional, mas a ciência não pode parar.

Saber que números primos são caóticos trouxe-me uma intrigante questão: o que prevalece na natureza? Caos ou ordem? Ora, a ciência, como forma de apreensão do conhecimento, depende de encontrar as regularidades na natureza. É estranho, portanto, que a matemática, como instrumento da ciência, tenha uma irregularidade em si mesma. Então, embora não seja matemático, nem entenda de matemática (no aspecto formal, considero-me autodidata), comecei a usar, desde 1984, alguns instantes do meu tempo, para, por lazer, tentar entender a questão dos números primos e cheguei a um resultado para mim satisfatório: descobri um padrão primo e uma fórmula, ainda que por exclusão, para determinar números primos.

Como não entendo de matemática, criei alguns símbolos e, com isso, simplifiquei alguns aspectos do conhecimento matemático, pelo menos para meu próprio uso.

Talvez o leitor encontre falhas de conhecimento formal, erros de representação e lacunas lógicas neste trabalho, porém, mesmo assim, o estou divulgando porque o conhecimento que trago a respeito do tema talvez possa ser importante.

Outro aspecto a considerar é que a matemática, embora carregue consigo a idéia de complexidade, o que faz com que nos afastemos dela (e eu fui um que fugi dela e de seus símbolos enigmáticos), não dispensa afirmações elementares. Ao contrário do que se pode presumir, a obviedade está no âmago da lógica e esta precede à matemática e a substancia. Portanto, terei que trazer aqui, junto com idéias aparentemente complexas, manifestações bastante óbvias, como a de que dois e dois são quatro, porque elas são inerentes ao contexto.

Portanto, vamos considerar que existem apenas três números básicos, não compostos, dos quais todos os outros decorrem como compostos, que chamaremos:

• Z = 1 = Aprimos e todos os que se lhes seguem.
• Y = 2 = Pares e todos que se lhes seguem.
• X = 3 = Triplos e todos os que se lhes seguem.

Vejamos:

Z = 1, 2, 3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17... 
Y = 2, 4, 6,  8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34... 
X = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51...

Excluindo os que aparecem em mais de uma linha, temos:

Z = 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49... 
Y = 2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34, 38, 40, 44, 46, 50...
X = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51...

Esses três únicos números, Z, Y e X, são como partículas elementares das quais todos os demais decorrem como seus compostos. Observemos que a linha dos números permanece intacta: 1, 2, 3, 4, etc. Outros símbolos e seus significados daremos no momento em que ocorrerem. A qualquer número indistintamente chamaremos N, sendo que o zero simbolizaremos mesmo com o 0 e ele significa a inexistência de quaisquer substâncias e suas relações. N-N=0.

Desta forma de ver os números, muitas conseqüências decorrem. Veremos algumas delas, as que mais nos interessam, para a questão números primos.

1. Todo número acima de Z, Y e X é deles compostos. Os aprimos se compõem de primos (P) e seus múltiplos, que chamaremos de quase-primos(QP); ou seja, existem apenas três categorias de números: X – triplos e seus múltiplos, Y – pares e seus múltiplos e Z – primos e seus múltiplos. Uma simbolização dos seus compostos seria: ZZ, ZY, ZX, YY, YX, XX. Portanto, há apenas seis categorias de números compostos. Isso implica em afirmar que apenas Z divide Z, que Y divide Y e que X divide X, ou seja, que qualquer número apenas se divide por dois e seus compostos, ou por três e seus compostos, ou por primo e seus compostos. Observemos que apenas Z divide Z. Aqui está o teorema aritmético de que todo número se compõe de primos, entretanto com a ressalva do dois(2) e do três(3) que, no meu entendimento, não são primos, como veremos adiante.
   Logo, aceitando Z, Y e X como diferença, podemos afirmar que:
2. Todo número pode ser considerado três, ou múltiplo de três mais ou menos um.

   N = N(X) ± Z
   n = x(3) ± 1
   1 = 0 × 3 + 1  
   

   Aprimo (primos e seus compostos) pode ser gerado a partir da multiplicação de números ímpares por três e seus múltiplos de três mais ou menos dois: Z, X(X) ± Y.
   Logo, embora nem todo múltiplo de três mais ou menos dois seja primo, todo número primo é múltiplo de três mais ou menos dois.
   Aprimos (primos e seus compostos) = ímpares(3x) ± 2.

   3 × 1 ± 2 = 5, 7
   3 × 3 ± 2 = 11, 13
   3 × 5 ± 2 = 17, 19
   

3. Todo número pode ser considerado seis ou múltiplo de seis, mais ou menos um, dois, ou três: N = n(XY) ± Z,Y,X.

   n = n(2 × 3) ± 1, 2, 3
   
   lembremos que 0 × 6 + 1, 2 e 3 = 1, 2, 3
   

   Portanto:

   Aprimos   = N(XY) ± Z = 6n ± 1
   Pares     = N(XY) ± Y = 6n ± 2
   Triplos   = N(XY) ± X = 6n ± 3
   

   Logo, números aprimos (primos e seus compostos, os quase-primos) são múltiplos de seis (6) e seus múltiplos mais ou menos um.
   A base matemática deveria ser o seis (6), mas essa é outra questão.
   Logo, embora nem todo múltiplo de seis mais ou menos um seja primo (são primos ou múltiplos de primos entre si), todo número primo é múltiplo de seis mais ou menos um:

   N(XY) ± Z
   n(6x) ± 1
   

   Aprimo (primos e quase-primos) = 6 × 1 ± 1, 6 × 2 ± 1, 6 × 3 ± 1, etc.
4. Aqui temos uma definição de primos (e seus compostos, os quase-primos) e, portanto, outra conseqüência lógica fundamental:
   Primos são números irregulares de uma família de números ordenados todos múltiplos de três mais ou menos dois, ou todos múltiplos de seis mais ou menos um e divisíveis apenas pelos de sua família.
   Claro que na linha dos aprimos, dos quais os primos fazem parte, irão aparecendo não-primos (destacados em negrito), que são os múltiplos dos primos entre si. O primeiro não-primo (quase-primo) é o 25, que é múltiplo de 5, e assim sucessivamente. Mas isso não muda a definição.
   Para a Matemática, um (1) não é primo; dois e três são primos. Mas, pelo que afirmo, um (1) e menos-um (-1) são primos. Dois e três não são primos porque são números regulares. Presumo que o leitor entenderá que a afirmação de que um (1) e menos-um (-1) são primos é fato matemático impositivo, dada a consideração de que números primos são múltiplos de seis mais ou menos um (0 × 6 ± 1).
   Embora primo seja múltiplo também de três mais ou menos dois, opto por considerar o seis como o seu padrão fundamental. Logo, o padrão primo é o seis. Todo primo, exceto o dois (2) e o três (3), é múltiplo de três mais ou menos dois, ou múltiplo de seis mais ou menos um.

Enfim, a ordem prevalece na natureza; o caos vem depois dela.

Poderia manter o dois (2) e o três (3) na definição: números primos são os divisores de seis, ou os múltiplos de seis, ou de seus múltiplos, mais ou menos um. No entanto, se excluo o dois (2) e o três (3) da condição primo (embora continuem indivisíveis), baseado na afirmação de que são números regulares, preciso definir o que entendo por número regular.

Entendo que os números existem naturalmente e, portanto, devem estar vinculados às formas, quantidades e relações naturalmente existentes. Óbvio que precisamos poder determinar a dimensão de qualquer figura com um número, ou a matemática nem existiria. Como sabemos, a definição de definição resulta em um círculo vicioso e, como exige a linguagem (e a matemática), precisamos partir de alguma idéia básica aceita em princípio, ou as demais não teriam consistência. Neste caso, entendo que existem formas, quantidades e relações (e números) regulares: quadrados, círculos, triângulos e seus compostos (losangos, etc.), e formas, quantidades e relações (e números) irregulares, cuja dimensão (forma, volume, massa) somente podem ser representadas com números irregulares (primos e seus compostos). O dois e o três aparentam (eu disse aparentam) regularidade. Ademais, pela mesma razão que incluímos o um (1) e menos-um (-1) como primo (0 × 6 ± 1 = -1 e 1), também não podemos incluir o dois e o três.

Do exposto até aqui, aceitando as minhas definições, ficou claro, quanto aos números primos, que temos, no conjunto dos aprimos (Z), dois conjuntos de números, os quase-primos (QP) e os Primos (P). Portanto, se do conjunto dos aprimos excluirmos os quase-primos, restarão os primos.

Ora, os aprimos (Z), já conhecemos: Aprimos = n6 ± 1

Mas, quais são os quase-primos?

Quase-primos = n6 ± 1 × y ± n(6) ± 1

Com isso, podemos conhecer os dois conjuntos e excluir um do outro e, portanto, resolvemos satisfatoriamente uma parte da questão primos.

Um filho meu, Dimitri Munari Domingos, montou as fórmulas em computador e, em alguns instantes, excluindo os QP de um grupo de Z, encontrou os primos (P).

Na fórmula dos quase-primos temos, até o parêntese, o número que multiplicamos por seis, equivalente a N, ou seja n(6) ± 1. Vamos chamar N de posição.

Se todo número pode ser considerado múltiplo de seis mais ou menos um, podemos defini-los em Z-mais e Z-menos, assim como Y-mais, Y-menos, X-mais e X-menos (exceto o próprio seis e seus múltiplos) e, portanto, os primos em primos-mais (Pm) e primos-menos (Pn).

Logo: temos posição (N) que gera primo, que vamos chamar de posição-primo (Np) e posição (N) que não gera primos, que vamos chamar de posição-não-primo (Nnp), considerando os sinais mais ou menos.

Temos posição-primo (Npa) absoluta, que gera primos pelos dois lados, conforme os sinais mais ou menos, e posição relativa (Npr) que gera primos apenas de um lado.

Definido N como posição, temos um aspecto importante que vamos destacar:

A posição que gera primos (Np) é um número que não contém primos (p) mais ou menos a sua posição (N), pelo menos em um lado, conforme o sinal mais ou menos.

A posição que não gera primos (Nnp) é um número que contém primo (p), ou múltiplo de primos (zz), mais ou menos a sua posição, em um lado, conforme o sinal mais ou menos. E esta nós já determinamos:

Nnp = N(ZYX) ± 1(N) ± N = n6 ± 1 × y ± n = P ± N, ou PP ± N.

Portanto, já podemos gerar uma fórmula para primos:

Primo = 6n ± 1, onde n diferente de 6n ± 1 × y ± n

Ou seja, o multiplicador que gera primos (Np) deve ser diferente de N(6) ± Z × (N1) ± N ou N diferente de 6n ± 1 × y ± n.

Também podemos determinar a primalidade ou não de qualquer número, identificando a natureza de N, ou seja, se contém ou não primo mais ou menos a sua posição. Uma forma de fazer isso, entre outras, é colocar o número em questão numa “balança algébrica”, como podemos considerar a própria equação com que foi montado. Por exemplo: 4 × 6 + 1 = 25.

Na categoria dos aprimos (primos e seus múltiplos), todo não-primo (quase-primo) é igual a N(n6) ± N, assim como Z(n6) ± Z. Portanto, se transformamos N em um aprimo, ou seja, no exemplo, se acrescentamos um (1) a N (4+1=5) e excluímos seis da diferença (+1-6), teremos 4+1×6+1-6 = 5×6-5. Quando os extremos forem primos, ou divisíveis entre si, o número formado não será primo. Observemos que, no caso dos aprimos, a diferença (o extremo direito) é sempre aprimo. Outro exemplo: 8×6+1= 49 = 8-1×6+1+6 = 7×6+7.

Mas, como o leitor percebeu, não geramos uma fórmula direta para gerar primos, nem, é claro, uma fórmula para gerar a posição-primo (Np) com a qual geraríamos primos. Essa é a parte que falta...

Já esclarecemos a natureza posicional dos números primos (o padrão seis) e identificamos sua posição-não primo. Temos como excluir um do outro e identificar primo (a primalidade ou não de terminado número e de um conjunto de números). Sabemos que o multiplicando de primo é seis e seus múltiplos, mas ainda não temos como determinar, matematicamente, a sua posição-primo (Np).

Esse ainda é o nosso problema: como construir Np?

Estou convencido que Np é possível e a questão básica está em responder matematicamente à seguinte pergunta: quantos primos a posição (N) contém e quais? Algumas Np são o dez (10), o doze (12), o dezoito (18) e o dezessete (17), por exemplo. São Np absolutas, por que geram primos dos dois lados, como 59 e 61, 71 e 73, 101 e 103, 107 e 109. O que uma Np tem de especial que, multiplicada por seis mais ou menos um gera primo, ainda que apenas em um dos lados conforme o sinal? Aliás, observemos que 1, 2 e 3 são Np absolutas. Como eu já disse, uma Np que gera primo não contém primo mais ou menos a sua posição. Ou seja, não pode ser gerada com seis mais ou menos um mais ou menos a posição do primo gerado. Veja que não podemos construir os números 1, 2, 3, 10, 12, 17 e 18, entre outros, com a fórmula 6n ± 1 × y ± n. Eles são Np. Talvez precisemos de uma fórmula inversa daquela. Mas podemos identificar uma Np em qualquer número se formos excluindo número a número e dividindo o número inicial pelo primo que esse número formaria. Ou seja: N ± 1, 2, 3, 4/61 ± 1, 62 ± 1, 63 ± 1... Se isso não for possível, ainda que apenas para um dos lados do sinal, o número é uma Np, ainda que uma Np relativa. Veja que, se extrairmos, ou acrescentarmos um (1) ao dez (10), não conseguimos dividi-lo pelo primo que um (1) formaria como posição (5 e 7); se excluirmos o dois (2), ou acrescentarmos, também não conseguimos dividi-lo por 11 e 13. O mesmo quanto a 17 e 18 e outras Np existentes. Observe que, se acrescentarmos um (1) a dezenove (19), poderemos dividi-lo por cinco (5) e, nesse caso, se multiplicarmos 19 por 6+1, esse número será divisível por cinco. Existe aqui uma lógica aritmética facilmente constatável: o número multiplicando, ou multiplicador, leva com ele os seus divisores. Xy(z)/x,y. Percebemos que, no caso da "construção" de quase-primos, o número divisor que foi com o multiplicando será completado depois.

Se definirmos os primos segundo a posição, isto é, primo-um (formado com a posição um) = 1×6±1 = 5 e 7, primo-dois = 2×6±1 = 11 e 13, etc., e, portanto, PZ, PY e PX, etc., e se consideramos que todo número contém primo, então Np terá a seguinte forma, na minha simbologia:

Np = NPZ ± Y, X, Z ± Z
     NPY ± Z, X, Y ± Y
     NPX ± Z, Y, X ± X
10 = 2P1 ± (Z ± Z)
12 = 1P2 + 1, 2P1 + 2
17 = 1P3 ± 0, 3P1 + 2
18 = 3P1 + 3, 1P3 + 1

Ou seja, a natureza do primo não é igual à diferença acrescentada ou excluída. É o procedimento que já indicamos: Np diferente de N±n1/6n1±1 ou de 6n±1×y±n.

Portanto, identificamos Np partindo do pressuposto que todo número contém primo, quais e quantos.

Já elaborei diferentes modos de localizar quase-primos (QP) e até, com a soma dos dígitos, montar um processo algébrico para determinar diferentes divisores mais ou menos uma diferença e, portanto, determinar se X, Y, ou Z (parece que isso tem alguma coisa a ver com a fórmula criptográfica RSA...), pois afirmo que números primos e seus compostos (aprimos) são números ímpares cuja soma dos dígitos é diferente de 3, 6 e 9. O número da fórmula RSA é um aprimo (múltiplo de primos entre si).

A determinação dos quase-primos (múltiplos de primos) está na determinação da posição N e isto se faz dividindo-a por seis. Dependendo da diferença de seis, encontraremos um resultado indicador da primalidade. Necessariamente, a diferença de seis terá que ser x±y e o resultado xy. Portanto, no caso quase-primo, a diferença de seis para encontrar um resultado e este serão iguais, ou seja D=R, x±y=xy e, no caso de primos, serão diferentes, ou seja x±y diferente de xy.

Mas ainda não consegui uma fórmula para montar Np. Talvez ela seja o inverso de Nnp = x6±1×y±x ou x6±(x±1). Peço a ajuda dos matemáticos, pois, com isso, resolveremos de vez a questão dos números primos.

Deixo aqui muitas lacunas e de trazer outros conhecimentos, tendo em vista evitar texto por demais prolixo. Já escrevi um texto maior e mais complexo e o registrei para assegurar eventuais direitos quanto à importância (ou não) do conhecimento trazido a lume.

Agradeço qualquer manifestação, positiva ou negativa.

Obrigado e até outra.

Três Forquilhas/RS, 06 de Dezembro de 2006

Cláudio Leal Domingos

Rua da Figueira, 116

CEP 95575-000 – Três Forquilhas/RS

Telefone (51) 36285105 e 98666887

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Números primos, a solução final

Em 19.02.05 recebi o seguinte e-mail do Cláudio. Transcrevo-o atendendo seu pedido e aproveito para parabenizá-lo pelo livro que está escrevendo. Sucesso!

Prezada Vovó Vicki

Permita-me vir à sua presença para informar que, enfim, tenho como resolvida a questão números primos. Já havia deslindado intelectualmente a questão, mas faltava um modo para, com certeza, gerar primos. E isso já tenho.

Se deduzia, inclusive eu, que a fórmula para calcular números primos, se existisse, seria muito complicada. No filme, A Prova, que trata da questão números primos, o matemático que protagoniza o filme (Antony Hopkins) teria chegado a um resultado com quarenta páginas. Posso afirmar que, embora o processo seja complicado, a idéia central, em essência, é muito simples. Bastam algumas linhas.

Penso que a descoberta leva a alguns resultados importantes e, talvez, um deles seja o fato de que precisamos rever a matemática da complexidade; parece-me que, no fundo, o caos é apenas um resultado, nunca um princípio. Por trás da complexidade existe uma ordem. No caso dos números primos, uma ordem elementaríssima.

Entretanto, resolvi não divulgar da forma como venho fazendo, posto que, embora a magnitude da descoberta (vaidade inclusa), a recepção não foi como deveria. Portanto, estou achando melhor escrever um livro sobre o meu trabalho e como cheguei a tanto. Não sou matemático, mas vou dizer o que sei e da forma como aprendi. Já tenho vinte e cinco páginas e um título, Matemática Zero, por causa do meu total autodidatismo nessa área. A minha dificuldade vai ser chegar a cem páginas, porque a visão de um livro no Brasil, infelizmente, é a de que precisa ter volume em vez de conteúdo, pelo menos comercialmente.

Gostaria de ter essa informação inserida no meu texto.

Muito obrigado mesmo!

Até outra.

Três Forquilhas/RS, 18 de Fevereiro de 2007.

Cláudio Leal Domingos

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