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Categoria: Laboratório de Matemática

Atualização: Domingo, 21 Fevereiro 2010 13:00

Autor: Cláudio Leal Domingos

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Diz a Matemática que não se sabe como calcular números primos: são números sem divisores, apenas divisíveis por si mesmo e pela unidade. Uma das questões matemáticas mais antigas, pendente de esclarecimento, é a de que números primos não têm um padrão - são caóticos e não existe um processo matemático para determiná-los com precisão na linha dos números.

Apesar de complexos, existem modos para determinar a primalidade, para saber se um número é ou não é primo, mas não existe uma fórmula matemática para criá-los. O processo ainda hoje utilizado para identificar números primos é o chamado Crivo de Erastótenes (Matemático grego – 276/194 a.C), pelo qual vai se excluindo os números que têm divisores até restarem apenas os primos. Muitos matemáticos têm buscado resolver a questão dos números primos, e alguns deles dedicaram parte de sua vida a isso, mas os resultados têm sido parciais. Em 2002, dois indianos anunciaram um algoritmo para, através do computador, encontrar números primos, mas o processo, mesmo assim, ainda é bastante complexo. Enfim, em tese, primos são números caóticos. É com base nesse fato que a criptografia se apóia para esconder informação e criar senhas na informática. A descoberta de uma solução para números primos significaria, aparentemente, um abalo na segurança criptográfica computacional, mas a ciência não pode parar.

Saber que números primos são caóticos trouxe-me uma intrigante questão: o que prevalece na natureza? Caos ou ordem? Ora, a ciência, como forma de apreensão do conhecimento, depende de encontrar as regularidades na natureza. É estranho, portanto, que a matemática, como instrumento da ciência, tenha uma irregularidade em si mesma. Então, embora não seja matemático, nem entenda de matemática (no aspecto formal, considero-me autodidata), comecei a usar, desde 1984, alguns instantes do meu tempo, para, por lazer, tentar entender a questão dos números primos e cheguei a um resultado para mim satisfatório: descobri um padrão primo e uma fórmula, ainda que por exclusão, para determinar números primos.

Como não entendo de matemática, criei alguns símbolos e, com isso, simplifiquei alguns aspectos do conhecimento matemático, pelo menos para meu próprio uso.

Talvez o leitor encontre falhas de conhecimento formal, erros de representação e lacunas lógicas neste trabalho, porém, mesmo assim, o estou divulgando porque o conhecimento que trago a respeito do tema talvez possa ser importante.

Outro aspecto a considerar é que a matemática, embora carregue consigo a idéia de complexidade, o que faz com que nos afastemos dela (e eu fui um que fugi dela e de seus símbolos enigmáticos), não dispensa afirmações elementares. Ao contrário do que se pode presumir, a obviedade está no âmago da lógica e esta precede à matemática e a substancia. Portanto, terei que trazer aqui, junto com idéias aparentemente complexas, manifestações bastante óbvias, como a de que dois e dois são quatro, porque elas são inerentes ao contexto.

Portanto, vamos considerar que existem apenas três números básicos, não compostos, dos quais todos os outros decorrem como compostos, que chamaremos:

• Z = 1 = Aprimos e todos os que se lhes seguem.
• Y = 2 = Pares e todos que se lhes seguem.
• X = 3 = Triplos e todos os que se lhes seguem.

Vejamos:

Z = 1, 2, 3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17... 
Y = 2, 4, 6,  8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34... 
X = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51...

Excluindo os que aparecem em mais de uma linha, temos:

Z = 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49... 
Y = 2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34, 38, 40, 44, 46, 50...
X = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51...

Esses três únicos números, Z, Y e X, são como partículas elementares das quais todos os demais decorrem como seus compostos. Observemos que a linha dos números permanece intacta: 1, 2, 3, 4, etc. Outros símbolos e seus significados daremos no momento em que ocorrerem. A qualquer número indistintamente chamaremos N, sendo que o zero simbolizaremos mesmo com o 0 e ele significa a inexistência de quaisquer substâncias e suas relações. N-N=0.

Desta forma de ver os números, muitas conseqüências decorrem. Veremos algumas delas, as que mais nos interessam, para a questão números primos.

1. Todo número acima de Z, Y e X é deles compostos. Os aprimos se compõem de primos (P) e seus múltiplos, que chamaremos de quase-primos(QP); ou seja, existem apenas três categorias de números: X – triplos e seus múltiplos, Y – pares e seus múltiplos e Z – primos e seus múltiplos. Uma simbolização dos seus compostos seria: ZZ, ZY, ZX, YY, YX, XX. Portanto, há apenas seis categorias de números compostos. Isso implica em afirmar que apenas Z divide Z, que Y divide Y e que X divide X, ou seja, que qualquer número apenas se divide por dois e seus compostos, ou por três e seus compostos, ou por primo e seus compostos. Observemos que apenas Z divide Z. Aqui está o teorema aritmético de que todo número se compõe de primos, entretanto com a ressalva do dois(2) e do três(3) que, no meu entendimento, não são primos, como veremos adiante.
   Logo, aceitando Z, Y e X como diferença, podemos afirmar que:
2. Todo número pode ser considerado três, ou múltiplo de três mais ou menos um.

   N = N(X) ± Z
   n = x(3) ± 1
   1 = 0 × 3 + 1  
   

   Aprimo (primos e seus compostos) pode ser gerado a partir da multiplicação de números ímpares por três e seus múltiplos de três mais ou menos dois: Z, X(X) ± Y.
   Logo, embora nem todo múltiplo de três mais ou menos dois seja primo, todo número primo é múltiplo de três mais ou menos dois.
   Aprimos (primos e seus compostos) = ímpares(3x) ± 2.

   3 × 1 ± 2 = 5, 7
   3 × 3 ± 2 = 11, 13
   3 × 5 ± 2 = 17, 19
   

3. Todo número pode ser considerado seis ou múltiplo de seis, mais ou menos um, dois, ou três: N = n(XY) ± Z,Y,X.

   n = n(2 × 3) ± 1, 2, 3
   
   lembremos que 0 × 6 + 1, 2 e 3 = 1, 2, 3
   

   Portanto:

   Aprimos   = N(XY) ± Z = 6n ± 1
   Pares     = N(XY) ± Y = 6n ± 2
   Triplos   = N(XY) ± X = 6n ± 3
   

   Logo, números aprimos (primos e seus compostos, os quase-primos) são múltiplos de seis (6) e seus múltiplos mais ou menos um.
   A base matemática deveria ser o seis (6), mas essa é outra questão.
   Logo, embora nem todo múltiplo de seis mais ou menos um seja primo (são primos ou múltiplos de primos entre si), todo número primo é múltiplo de seis mais ou menos um:

   N(XY) ± Z
   n(6x) ± 1
   

   Aprimo (primos e quase-primos) = 6 × 1 ± 1, 6 × 2 ± 1, 6 × 3 ± 1, etc.
4. Aqui temos uma definição de primos (e seus compostos, os quase-primos) e, portanto, outra conseqüência lógica fundamental:
   Primos são números irregulares de uma família de números ordenados todos múltiplos de três mais ou menos dois, ou todos múltiplos de seis mais ou menos um e divisíveis apenas pelos de sua família.
   Claro que na linha dos aprimos, dos quais os primos fazem parte, irão aparecendo não-primos (destacados em negrito), que são os múltiplos dos primos entre si. O primeiro não-primo (quase-primo) é o 25, que é múltiplo de 5, e assim sucessivamente. Mas isso não muda a definição.
   Para a Matemática, um (1) não é primo; dois e três são primos. Mas, pelo que afirmo, um (1) e menos-um (-1) são primos. Dois e três não são primos porque são números regulares. Presumo que o leitor entenderá que a afirmação de que um (1) e menos-um (-1) são primos é fato matemático impositivo, dada a consideração de que números primos são múltiplos de seis mais ou menos um (0 × 6 ± 1).
   Embora primo seja múltiplo também de três mais ou menos dois, opto por considerar o seis como o seu padrão fundamental. Logo, o padrão primo é o seis. Todo primo, exceto o dois (2) e o três (3), é múltiplo de três mais ou menos dois, ou múltiplo de seis mais ou menos um.