Detalhes

Categoria: Laboratório de Matemática

Atualização: Domingo, 27 Dezembro 2009 22:11

Autor: Cláudio Leal Domingos

Acessos: 13464

De certo modo, a matemática tem uma feição de complexidade, de algo intelectualmente dificil, talvez pelo temor que seus símbolos aparentemente enigmáticos representam. Eu também pensava assim, mas, lá um dia, acabei por entender que a matemática é inerente ao universo e esteio da inteligência humana; está presente em tudo, determinando a nossa conduta. Enfim, já foi dito que tudo contém número. Ela é absoluta; lógica, impositiva: dois mais dois resulta em quatro e nem conseguimos conceber que seja diferente; a menos que criemos outra matemática e isso não parece possível (poderemos criar múltiplas formas de operar com ela, não outra matemática). As suas verdades são as verdades do mundo e parece não haver nada antes, nem depois, no tempo e no espaço. Lidar com ela exige seguir seus princípios. E, em sendo assim, possui múltiplas feições. Uma, a que já falamos aqui, da aparente complexidade; a outra, o seu oposto, a da simplicidade. E eis a constatação mais significativa: o fundamento lógico da matemática (e, óbviamente, da lógica propriamente dita) está no simples, não no complexo; está na ordem; não no caos. E sob essa visão que iremos tratar da Conjectura de Goldbach.

Em 7 de Junho de 1742, segundo Carl Boyer (20/316), em correspondência entre os matemáticos Leonhard Euler (1707-1783) e Christian Goldbach (1690-1764), este disse que "todo par inteiro maior que dois é a soma de dois primos", o que ficou conhecido como Conjectura de Goldbach. Há outra versão segundo a qual, na verdade, Christian teria feito a conjectura de outra forma: "todo inteiro par maior que dois pode ser escrito como a soma de três números primos". Dizem que Christian considerava primo o número um. Teria sido Euler quem, em respondendo, teria feita aquela, de que "todo inteiro par maior que dois pode ser escrito como a soma de dois primos", em razão de que um dos números primos seria necessariamente o dois.

Exemplos:

04 = 2+2
06 = 3+3
08 = 5+3
10 = 5+5
12 = 5+7
14 = 7+7
16 = 11+5

Euler também teria afirmado que acreditava nessa conjectura mas não sabia como prová-la. Esse teorema foi publicado na Inglaterra, em 1770, nas Meditationes algebraicae, de Edward Waring (1734-1793), sem prova. Nessa publicação, constaram outras conjecturas, como a de que "todo inteiro ímpar é um primo ou a soma de três primos" (Boyer, 20/316).

Essa é a história, em síntese da Conjectura de Goldbach, que permanece como questão matemática indemonstrável.

Será realmente impossível, ou apenas difícil, ou, quem sabe, até bastante fácil assegurar que a soma de dois primos se estende a todos os pares até o infinito? Keith Devlin esclarece que já se deu exemplos até quatrocentos trilhões, com buscas computacionais concluídas no ano 2000. Mas,

...a conjectura em si permanece sem prova. O mais próximo que alguém já chegou foi em 1966, quando o matemático chinês Jeng-Run Chen provou que a partir de algum número N, todo número par maior que dois ou é a soma de dois primos, ou a soma de um primo com o produto de dois primos (Curiosamente, o argumento de Chen não nos diz qual é o N; apenas mostra que tal número existe). (Devlin, 2004, 21/47)

Quatrocentos trilhões parecem mais que suficiente, mas, exemplos, quantos sejam, não bastam para assegurar a verdade de um entendimento matemático. São úteis no mundo social, onde, apesar da complexidade das relações humanas, aceitamos como representantes de verdades possíveis, ainda que temporárias. Lidamos, nesse caso, com dados estatísticos, em que os exemplos, muitos deles, induzem a uma possibilidade, não a uma certeza. Em matemática, "...não se pode usar a evidência dos primeiros milhões para provar uma conjectura referente a todos os números" (Singh, 1999, 22/171). O filósofo Karl Raimund Popper, falando sobre indução e conjecturas, afirmou que não importa quantos cisnes brancos possamos ter observado, pois isto "não justifica a conclusão de que todos os cisnes são brancos". Sobre a conjectura de Goldbach, disse:

Goldbach pensava que ela poderia ser verdadeira; e de fato pode perfeitamente ser verdadeira, ainda que não saibamos, e que talvez nunca possamos saber, se ela é verdadeira ou não. (23/146).

O matemático Kurt Gödel, com o seu teorema da incompletude, nos alertou para o fato de que nenhum sistema aritmético é completo; haverá impossibilidade matemática de demonstração em pelo menos algum teorema. Aliás, teria sido ele quem referiu a Conjectura de Goldbach como o exemplo de teorema indemonstrável. Quanto a isso, A. K. Dewdney, também disse que

No momento, um dos poucos candidatos é a conjectura de Goldbach, que afirma que qualquer número par é a soma de dois primos.
É uma coisa tão simples, ...mas até hoje ninguém consegui demonstrá-la! (Dewdney, 2000, 15/206).

Também Ernest Nagel e James R. Newman indicam como clássica ilustração o

"Teorema de Goldbach" que estabelece que todo número par é a soma de dois números primos. Não se encontrou até agora nenhum número par que não seja a soma de dois números primos, contudo ninguém foi bem sucedido em encontrar uma prova de que a conjectura de Goldbach se aplica sem exceção a todos os números pares. Este então é um exemplo de um enunciado aritmético que pode ser verdadeiro, mas pode ser não-derivável dos axiomas da aritmética. (Nagel et Newmann, 2003, 3/56)

Qual o significado, a verdadeira importância da Conjectura de Golbach? O que dificulta a sua prova e, com isso, torna importante a sua demonstrabilidade matemática? No fundo, ela talvez seja apenas mais um aparente intrigante problema matemático cuja solução traria consigo outros significados. Um deles, parece, seria o de reduzir um pouco, pelo menos, a limitante afirmação de Kurt Gödel, de que há teoremas verdadeiros que não podem ser formalmente provados.

Em tese, uma das dificuldades para resolver a Conjectura, e outros teoremas semelhantes, estaria em que não se poder resolver com dados finitos questões sobre o infinito. Um rebanho de ovelhas brancas não prova a cor de todas elas no campo.

Outra dificuldade residiria nos componentes aparentemente complexos que estruturam a formulação da conjectura: os números primos, que sempre foram considerados caóticos.

Porém, mesmo não sendo matemático, permito-me reforçar o entendimento de que a Conjectura, de certo modo é, no fundo, simples e demonstrável. É o que me proponho fazer com este trabalho, ainda que por procedimento que, talvez, possa ser considerado não propriamente matemático, embora, data vênia, o seja para mim. A dificuldade das afirmações finitas sobre um universo infinito também pode ser superada. Quanto aos números primos, eu escrevi um livro a respeito: Matemática Zero, padrão e fórmula para os números primos, com o qual tive por objetivo manifestar o meu entendimento que os números primos, embora considerados caóticos, pertencem a uma categoria de números ordenados e, portanto, com um padrão. Cheguei a comentar brevemente a Conjectura de Goldbach.

Entretanto, há que se rever algumas questões matemáticas inerentes e, com isso, definir os termos da nossa linguagem para que a minha manifestação seja entendida.

Para a análise da Conjectura de Goldbach pelo menos três definições são fundamentais:

1 - número primo
2 - inteiro par
3 - soma de primos

Precisamos rever esses dados, com os quais iremos demonstrar a Conjectura. Comecemos pelos números primos.

Número primo

São os indivisíveis (somente divisíveis por si mesmo e pela unidade) e, portanto, os primeiros de cada série de números; neles estão incluídos o dois (2) e o três (3). Não está incluído o um (1), que Christian, entretanto, considerava primo. Como se percebe, a definição os identifica pela indivisibilidade. São considerados caóticos porque, em princípio, não se pode identificá-los com precisão na linha dos números, se não por procedimentos parciais e complexos. Ou seja, não é fácil afirmar, matematicamente, que determinado número adiante é necessariamente primo, se não a partir dele mesmo, da identificação da sua indivisibillidade, ou não. Para se determiná-los, ainda se fala no crivo de Erastótenes.

Entretanto, essa visão dos números primos não nos serve; aceitando-os assim, teremos evidentemente maior dificuldade, ou, evidentemente, junto com os primos, uma impossibilidade de atingir o nosso objetivo. Até porque, data vênia, a matemática (a estrutura lógica do universo) tem, na verdade, uma idéia menos caótica a respeito deles. Vamos, portanto, identificá-los na estrutura lógica da Matemática e constatar que eles, necessariamente, têm um padrão. Vamos ficar com a definição dada por mim em meu livro – Matemática Zero – que vou repetir e resumir aqui. Vamos considerar que existam apenas seis tipos básicos de números. Portanto, vamos trabalhar com a base seis. A matemática a impõe. Esses números – com as denominações que lhes daremos, são:

T  = 0.06.12.18.24, etc.    = Triplos-mais  = n6
A  = 1.07.13.19.25, etc.    = Aprimos-mais  = n6+1
D  = 2.08.14.20.26, etc     = Duplos-mais   = n6+2
T’ = 3.09.15.21.27, etc.    = Triplos-menos = n6-3
D’ = 4.10.16.22.28, etc.    = Duplos-menos  = n6-2
A’ = 5.11.17,23.29, etc.    = Aprimos-menos = n6-1

Os aprimos(A) são os primos(P) e seus múltiplos(AA). Portanto, estou reafirmando que

Todo número primo é múltiplo de seis mais ou menos um
Primo = n(6m) +- 1
Onde n deve ser diferente de m(6n)+-1.y+-m

Os primos, portanto, são ordenados; têm um padrão, o seis (6).

Penso que a dificuldade de entender os números primos decorreu em grande parte do fato de defini-los apenas por sua característica da indivisibilidade e, por isso, incluir o dois (2) e o três (3) como primos.

Porém, achei difícil aceitar a afirmação de que "o dois é o único número primo par", assim como o três seria o único triplo primo. Entendi necessário outro critério para caracterizar a primalidade além da simples característica da indivisibilidade, que é o de irregularidade, ausência de simetria e o fato do padrão seis (múltiplos de seis mais ou menos um). Logo, tornou-se impositivo excluir o dois (2) e o três (3) e incluir o menos-um (-1) e um (1).

Entretanto, o leitor perceberá no curso deste trabalho que, ainda que mantenhamos a definição tradicional de número primo a Conjectura de Goldbach se resolve.

Os números primos pertencem a uma família de números ímpares irregulares porém ordenados, todos múltiplos de seis mais ou menos um. Com isso, o aparente caos dos números primos na linha dos números desaparece.

A irregularidade que existia nos números primos era uma decorrência dos "buracos" (o vinte e cinco no caso acima) que faltavam para completar a regularidade na família dos aprimos (primos múltiplos de primos).

Como os aprimos são determinados pela posição, há os aprimos-um-menos (5), os aprimos-um-mais (7), os aprimos-dois-menos (11), os aprimos-dois-mais (13), etc., assim como os não-primos-um-menos, os não-primos-um-mais, etc.

Os aprimos (A), primos (P) e seus múltiplos (AA), são gerados pelas equações:

A  = n(6m) +- 1 
AA = n(6m) +- 1 . 6+-(n(6m)+-1)
AA = xy(6m) +- (x+-y).6+-1
P  = n(6m) +- 1, em que n é diferente de
     xy(6m) +- (x +- y)

Os primos podem ser identificados pela separação dos não-aprimos do conjunto dos aprimos (primos e múltiplos de primos) e fazer restar apenas os primos.

Os dois procedimentos, que veremos, resolvem a questão primos.

Portanto, calculamos quantos aprimos (A) existem em cada número e excluímos os não-primos (AA) e restarão apenas os primos.

Calcular quantos aprimos existem em cada número é fácil.

Se nA igual à quantidade de aprimos em cada número, então:

nA = N/6.2 = N/3

Por sua vez, o procedimento para saber quantos não-primos (AA) existem em cada número, em síntese, é esse:

N/30.2  – 0
N/42.2  – 1 - 0
N/66.2  – 2 – 1 - 0
N/78.2  – 3 – 2 – 1 - 0
N/102.2 – 4 – 3 – 2 – 1 – 0 
N/114.2 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 – 0

Cada parcela deve ser somada uma com a outra e excluída de cada uma a quantidade equivalente à posição da respectiva parcela. Podemos, então, ver o procedimento um pouco diminuído, eis que a quantidade a ser diminuída de cada parcela é igual a NN+N/2. Portanto,

N/30.2   – 0
N/42.2   – 1
N/66.2   – 3
N/78.2   – 6
N/102.2 – 10
N/114.2 – 15

O processo pára quando uma parcela resultar zero, como na terceira parcela do cálculo do 100 mostrado a seguir. A soma total da última parcela será a quantidade apenas de primos contida no número em questão.

Com isso, temos como contar apenas os números primos em qualquer número. Se não estou enganado, um procedimento para verificar com certeza a densidade dos primos em qualquer número é uma das dificuldades apontadas na Hipótese de Riemann. Temos aqui um procedimento para fazer isso.

No caso do 100, seria:

Número de aprimos = nA = 100/6.2-1 (excluímos o menos-um, primo).
Ou seja, o 100 contém 33 aprimos.
Agora, excluamos os não-primos (AA):
100/30.2 = 100 dividido por 6(1.6-1).2-0 = 6 = 25.35.55.65.85.95
100/42.2 = 100 dividido por 6(1.6+1).2-1 = 3 = 49.77.91
100/66.2 = 100 dividido por 6(2.6-1).2-2 = 0

No cálculo, não consideramos as diferenças; lidamos apenas com inteiros. Então, temos nove (9) não-primos nos 33 aprimos contidos em 100, ou seja:

100/6.2-1 (excluímos o menos-um = -1) = 33 aprimos em 100.
33-9 = 24 = vinte e quatro primos em 100, considerando-se o um (1) e, naturalmente, excluídos o 2 e o 3.

Para a matemática, há 25 primos até 100, porque estão considerados o 2 e 3. Se o leitor prefere a definição usual de primo, basta excluir do cálculo um (1) e incluir dois (2) primos.

Vejamos o resultado do procedimento

Aprimos (primos e seus múltiplos) em 100: 
1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 
53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 95, 97

Eis a formação dos não-primos:

5.5  = 25     7.5  = 35     11.5 = 55
5.7  = 35     7.7  = 49     11.7 = 77
5.11 = 55     7.11 = 77   
5.13 = 65     7.13 = 91
5.17 = 85
5.19 = 95

Fácil, presumo.

Os PP, ou AA, destacados são excluídos do conjunto. Restarão os primos.

O número de primos (nP) contido em qualquer número é igual ao número de aprimos (nA) menos número de não-primos (nAA):

nP = nA - nAA

Quanto a gerar números primos diretamente, precisamos partir do princípio de que todo número é primo (seis e seus múltiplos, mais ou menos uma diferença):

N = n(6m) +- d  
N = nPm +- d 
N = P +- d
P = n6m +- d

Na linha dos números temos números que, multiplicados por seis mais ou menos um, geram primos; outros não. O número que gera primos deve se constituir de primo (ou aprimos), ou múltiplo deles que (ainda que contenha qualquer diferença) não contenha a posição ou a falta dela. A minha conjectura quanto ao número que irá gerar primos diretamente diz o seguinte:

Gera primos  n = nPm +- d
Portanto, n6 +- 1 = Primo
Não gera primos N = nPm +- m = xy6 +- (x+-y)
Portanto, N6 +- 1 = não-primo

Minhas pesquisas quanto aos números primos, embora bastante mais ampla do que o resumo que fiz aqui, param nesse ponto.

Deixo ao leitor interessado a oportunidade de, usando os elementos que manifesto, encontrar o número que necessariamente resultará em primo, se existe.

Quanto ao conhecimento dos números primos para a Conjectura de Goldbach, basta-nos o que foi explicado. Temos elementos suficientes e, na verdade, nem usaremos todos. Passemos a outra definição importante: Inteiro par.

Inteiro par

Como já vimos, considerando a base seis, temos apenas os seguintes números:

A  = n6+1 = 01.07.13.19
D  = n6+2 = 02.08.14.20
T’ = n6-3 = 03.09.15.21
D’ = n6-2 = 04.10.16.22
A’ = n6-1 = 05.11.17.23
T  = n6-0 = 06.12.18.24

Naturalmente, incluído o zero, ou seja:

T  = 0.06.12.18.24, etc.
A  = 1.07.13.19.25, etc.
D  = 2.08.14.20.26, etc
T’ = 3.09.15.21.27, etc.
D’ = 4.10.16.22.28, etc.
A’ = 5.11.17.23.29, etc.

No lado negativo da linha dos números, eles trocam de posição: os aprimos-menos = n6-1 = 5, 11, etc., passam a -7, -13, etc.

Observemos que, a cada seis números, ocorrem um (1) triplo ímpar, dois (2) aprimos (ímpares) e três pares (3).

O instrumento conceitual que consideramos importante é a redução de todo o universo matemático a seis números (A, D, T, A’, D’, e T’). Fizemos uma generalização e partimos do pressuposto que os elementos lógico-matemáticos contidos nos números básicos (1 a 6), como soma, números primos, pares, etc, são os mesmos até o infinito. Com isso, resolvemos a questão de se fazer afirmações com dados finitos sobre o infinito. Nada mais lógico. Admitimos que o universo é formado todo ele de átomos.

O que importa destacar aqui é há três (3) tipos de pares:

T = n6
D = n6+2
D’= n6-2

Agora podemos passar à soma de primos.

Soma de primos

Isso é razoavelmente simples, mas exige que façamos alguns esclarecimentos e afirmações.

Assim como qualquer coisa da natureza pode ser considerada como a junção (ou soma) de suas partes, também os números podem ser formados pela soma dos números neles contidos:

14 = 1+13, ou 2+12, ou 3+11, ou 4+10, ou 5+9, ou 6+8, ou 7+7

Lembram aquela história da infância de Gauss? Enfim, qualquer número é a soma de duas das suas partes que o constituam somadas tantas vezes quanto a metade do número:

N  = n-x+(n-(n-x) 
14 = 14-1+(14-(14-1), ou 14-2+(14-(14-2), etc.

Aqui aparece uma constatação importante, que vamos adiantar: od dúlices.

Os dúplices

Normalmente pensamos em um número como algo único, definitivo, específico. Essa parece ser a característica fundamental dos números, a sua particularidade, a identidade única. Entretanto, como qualquer coisa, um número pode ser constituído, separado e juntado, com diferentes partes de si mesmo, pois é evidente que o todo é feito de suas partes e que as partes de um número são outros números.

Quando falamos em soma, falamos em constituir um número com outros. Mesmo considerando as frações, podemos constituir um número com a soma de diferentes partes de si mesmo.

Mesmo o um (1) pode ser formado de 0,5+0,5, ou de 0,25+0,75, etc.

Chamamos dúplice de um número ao seu igual constituído, porém, com partes diferentes das do outro, que simbolizaremos por Du.

Quantos dúplices tem um número?

Se considerarmos a linha dos números negativos e positivos, todo número terá infinitos dúplices. Até o zero tem diferentes dúplices: 0 = 1-1, 4-4, etc.

Logo, o dúplice é o próprio número constituído com partes diferentes de si mesmo:

Du = n-x+(n-(n-x)
 1 = 1-1+(1-(1-1)

Essa é a constatação decisiva para a Conjectura:

Todo número tem tantos dúplices quanto a sua metade.

Considerando-se os lados negativos e positivos da linha, o que parece matematicamente correto, todo número terá infinitos dúplices. Isso significa reconhecer que todo número pode ser constituído com as infinitas somas de suas infinitas partes. Ou seja, como qualquer número (e os pares) tem infinitos dúplices, todo par poderá ser formado pelas infinitas somas das infinitas partes dos infinitos primos que o constituem. Isso é lógico e absoluto e resolve a Conjectura.

Entretanto, continuemos.

Veja o leitor que reduzimos todo número a seis, de um modo que presumo perfeitamente matemático. Ora, nesse caso, cada número será formado pela soma dos seis números. Existem apenas seis possibilidades de somas dos números entre si para formar outro deles, independente da direção. Para os seis números, existem trinta e seis possibilidades de somas. Reduzindo a uma direção, teremos apenas vinte e uma possibilidades de somas dos números entre si. As possibilidades de somas nos pares são:

Nos T'

A+A’ = T
D+D’
T+T
D’+D
A’+A
T’+D’

Nos D’

A+T = D’
D+D
T+A
D’+T’
A’+A’
T’+D

Nos D

A+A = D
D+T’
T+A’
D’+D’
A’+T
D’+D

Para o leitor ver isso de modo mais claro, escolhamos três tipos de pares e, com mais de um dele, constatemos a sua formação apenas com os números primos e múltiplos de primos:

D = A+A  
02 = 1+1, -5+7, etc.
08 = 1+7, -5+13, 
14 = 1+13, 7+7
20 = 1+19, 7+13, 
26 = 1+25, 7+19, 13+13
32 = 1+31, 7+29, 13+19
38 = 1+37, 7+31, 13+25, 19+19
44 = 1+43, 7+37, 13+31, 19+25

Em D, considerando-se apenas os números positivos, haverá tantas somas quanto D-2/6/2+1. Mas, considerando-se a linha dos números negativos e positivos, haverá somas de aprimos (e primos) até o infinito, gerando infinitos pares constituídos pela somas de primos. A cada dois D, aumenta uma soma.

D’ = A’+ A’
04 = -1+5, -7+13, etc.
10 = -1+11, 5+5
16 = -1+17, 5+11
22 = -1+23, 5+17, 11+11
28 = -1+29, 5+23, 11+17
34 = -1+35, 5+29, 11+23, 17+17
40 = -1+41, 5+35, 11+29, 17+23

Em D’, apenas com números positivos, haverá tantas somas quanto D’+2/6/2+1. No caso do quatro (4), não há suficientes primos positivos para a soma, exceto considerando-se o dois. Somente aqui teríamos uma exceção. Porém, considerando-se a linha dos números negativos e positivos, haverá somas de aprimos em D’ até o infinito; A cada dois D’, aumenta uma soma.

T = A+A’
06 = 1+5, -5+11, etc.
12 = 1+11, 7+5
18 = 1+17, 7+11, 13+5
24 = 1+23, 7+17, 13+11, 19+5
30 = 1+29, 7+23, 13+17, 19+11, 25+5
36 = 1+35, 7+29, 13+23, 19+17, 25+11

Em T, considerando-se apenas os números positivos, haverá tantas somas quanto T/6. Porém, considerando-se a linha dos números negativos e positivos, haverá infinitas somas de primos, gerando infinitos pares. A cada par triplo (T), aumenta uma soma.

Está evidente que, quanto maior o par, maior o número de somas.

Mas o leitor pode ter dúvidas quanto à soma de primos, já que, com clareza lógica, tenho sempre tratado da soma de aprimos (primos e seus múltiplos), quando a questão se refere apenas aos primos. Porém, fica também óbvio que, se todo número se constitui com a soma de suas partes, haverá um número mínimo de primos constituindo cada par, pois todos os aprimos e primos da linha se somam. Ou seja, qualquer que seja o tamanho do par, mesmo que contenha muitos não-primos, aquele número de primos básicos que o constituem permanece e, como eles são sempre a soma de todos os primos (e seus múltiplos), todo par sempre terá primos para constituí-lo. Se existe uma soma de primos nos primeiros pares positivos da linha dos números (e existe), essas somas e mais outras sempre estarão presentes nos pares maiores. Quanto maior o par, maior número de somas de primos ele terá, porque quanto maior o número, mais dúplices ele terá, isso apenas no lado positivo da linha dos números. Nos dois lados, como já dissemos, as somas de primos se estendem ao infinito.

Se primo = n6 +- 1 = A
E par = n6+-2 = D
então:
Par = (n6+-1 )+(n6+-1)
D = A+A 
A’ = -1, 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, 89, 95, etc. 
D’ = A’+A’

A soma de dois números acima (primos e seus múltiplos), formará um par; somando as extremidades, formaremos dúplices de 94, por exemplo. Mesmo excluindo a soma dos múltiplos de primos e, portanto, de não-primos (no caso, 35, 65, 77 e 95), ainda assim teremos um número mínimo de somas, pois todos eles podem ser somados entre si. Com esses, formaremos todos os D’ até 94. O leitor poderá constatar.

O mesmo ocorre quanto aos outros tipos de pares:

A = 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97
D = A+A 

Somando as extremidades e, mesmo considerando os não-primos (25, 49, 55, 85 e 91), ainda teremos somas de primos para formar o par 98, por exemplo. Com esses números formaremos, portanto, todos os pares até 98, eis que todo número é formado pelas somas dos números que o constituem.

O par T amplia as somas, porque ele é formado pela soma de primos e seus múltiplos diferentes, ou seja por todos os primos e seus múltiplos nele contidos, enquanto os pares (D e D’) são formados apenas pela metade dos primos neles contidos, como já vimos.

T = A+A’
A e A’ = 1.5.7.11.13.17.19.23.25.29.31.35.37.41.43.47.49.53.55.59.61.65.67.71

T se constitui pela somas desses primos e seus múltiplos entre si. Mesmo considerando os não-primos, há mais de uma soma de primos formando esse par.

Primo = n6-1 = A’
Primo = n6+1 = A
Não-primo = AA, AA’, A’A’ = PP
Par = n6 = T  = A+A’
Par = n6-2 = D’ = A’+A’
Par = n6+2 = D = A+A
Par-aprimo = aprimo  
T-A = A’
D’-A’ = A’
D-A = A
N = (n-x)+(n-(n-x)
Par-(par-(par-aprimo) = aprimo  
Par = (Par-aprimo)+(par-(par-aprimo) = aprimo+aprimo. 
D = (D-A)+(D-(D-A) = (26-7)+(26-(26-7) = 19+7 = A+A
D’= (D’-A’)+(D’-(D’-A’) = (22-5)+(22-(22-5) = 17+5 = A’+A’
T = (T-A)+(T-(T-A) = (24-7)+(24-(24-7) = A’+A 

Somente ocorrem somas de primos nos números pares. Não há soma de primos nos ímpares, é óbvio. Toda soma de números primos resulta em par. Se há primos contidos nos pares (e há), eles sempre se somarão entre si para constituir o par respectivo. Todos os primos formam pares-dúplices com os primos que os antecedem. Todo par terá tantos dúplices-primos quanto a metade dos primos que o constituem. Basta um dúplice-primo (um par-primo) em cada par para confirmar a conjectura.

Os dúplices ocorrem da seguinte forma:

Infinito ⇐ |-----------| ⇒ Infinito
           |           |
           |           |
           |           |
           |-----|-----|
                 ⇓
              Infinito

Ou seja:

infinito ⇐ -11, -05,  01,  07,  13,  19,  25, 31, ⇒ infinito
           -22, -16, -10, -04,  02,  08,  14,  20
           -16, -10, -04,  02,  08,  14,  20,  26
           -10, -04,  02,  08,  14,  20,  26,  32
           -04,  02,  08,  14,  20,  26,  32,  38
            02,  08,  14,  20,  26,  32,  38,  44
            08,  14,  20,  26,  32,  38,  44,  50
            14,  20,  26,  32,  38,  44,  50,  56 
            20,  26,  32,  38,  44,  50,  56,  62

                             ⇓
                          Infinito

Sempre que acrescentarmos um primo e seus múltiplos na linha de cima, ele formará um par-dúplice com outro da linha e isso se estenderá infinitamente.

Todo par é constituído pelos primos que o integram e haverá tantos dúplices quanto as somas dos primos nele contidos.

Vamos visualizar o que ocorre com os aprimos-mais (n6+1) e os pares por eles formados:

001 = 002
007 = 008.014
013 = 014.020.026
019 = 020.026.032.038
025 = 026.032.038.042.050
031 = 032.038.042.050.056.062
037 = 038.042.050.056.062.068.074
043 = 042.050.056.062.068.074.080.086
049 = 050.056.062.068.074.080.086.092.098
055 = 056.062.068.074.080.086.092.098.104.110
061 = 062.068.074.080.086.092.098.104.110.116.122
067 = 068.074.080.086.092.098.104.110.116.122.128.134
073 = 074.080.086.092.098.104.110.116.122.128.134.140.146
079 = 080.086.092.098.104.110.116.122.128.134.140.146.152.158
085 = 086.092.098.104.110.116.122.128.134.140.146.152.158.164.170
091 = 092.098.104.110.116.122.128.134.140.146.152.158.164.170.176.182
097 = 098.104.110.116.122.128.134.140.146.152.158.164.170.176.182.188.194
103 = 104.110.116.122.128.134.140.146.152.158.164.170.176.182.188.194.200.206
109 = 110.116.122.128.134.140.146.152.158.164.170.176.182.188.194.200.206.212.218
115 = 116.122.128.134.140.146.152.158.164.170.176.182.188.194.200.206.212.218.224.230
121 = 122.128.134.140.146.152.158.164.170.176.182.188.194.200.206.212.218.224.230.236.242
127 = 128.134.140.146.152.158.164.170.176.182.188.194.200.206.212.218.224.230.236.242.248.254

Aqui estão os pares-aprimos-mais ((n6+1)+(n6+1)), os D.

Os PP, que não geram pares-primos, estão destacados em vermelhos.

Os pretos são todos pares-primos. Na diagonal, estão os pares e seus dúplices formados com os primos que os antecedem. Se considerarmos uma linha na diagonal desse "triângulo", ela fará intersecção com todos os dúplices do par em que iniciar, formados por primos e não-primos. Ou seja, sempre interceptará uma linha dos pares dúplices formados pelos primos.

O leitor pode constatar que sobram dúplices dos pares formados com primos. O crescimento de dúplices do par é evidente. Basta escolher um par formado por não primos (em vermelho) e constatar que o encontrará sempre em preto na diagonal. Há abundância de somas de primos, portanto, mais que suficientes para justificar a Conjectura. Quanto mais cresce a linha dos números, mais pares-dúplices formados com primos.

Vamos ver também os aprimos-menos (n6-1):

5    = 010
11  = 016.022
17  = 022.028.034
23  = 028.034.040.046 
29  = 034.040.046.052.058
35  = 040.046.052.058.064.070
41  = 046.052.058.064.070.076.082
47  = 052.058.064.070.076.082.088.94  
53  = 058.064.070.076.082.088.094.100.106.
59  = 064.070.076.082.088.094.100.106.112.118
65  = 070.076.082.088.094.100.106.112.118.124.130
71  = 076.082.088.094.100.106.112.118.124.130.136.142
77  = 082.088.094.100.106.112.118.124.130.136.142.148.154
83  = 088.094.100.106.112.118.124.130.136.142.148.154.160.166
89  = 094.100.106.112.118.124.130.136.142.148.154.160.166.172.178 
95  = 100.106.112.118.124.130.136.142.148.154.160.166.172.178.184.190
101= 106.112.118.124.130.136.142.148.154.160.166.172.178.184.190.196.202
107= 112.118.124.130.136.142.148.154.160.166.172.178.184.190.196.202.208.214
113= 118.124.130.136.142.148.154.160.166.172.178.184.190.196.202.208.214.220.226
119= 124.130.136.142.148.154.160.166.172.178.184.190.196.202.208.214.220.226.232.238
125= 130.136.142.148.154.160.166.172.178.184.190.196.202.208.214.220.226.232.238.244.250
131= 136.142.148.154.160.166.172.178.184.190.196.202.208.214.220.226.232.238.244.250.256.262

E os T’= n6

97 | 096, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144, 150, 156, 162, 168, 174, 180, 186, 192
91 | 090, 096, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144, 150, 156, 162, 168, 174, 180, 186
85 | 084, 090, 096, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144, 150, 156, 162, 168, 174, 180
79 | 078, 084, 090, 096, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144, 150, 156, 162, 168, 174
73 | 072, 078, 084, 090, 096, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144, 150, 156, 162, 168
67 | 066, 072, 078, 084, 090, 096, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144, 150, 156, 162
61 | 060, 066, 072, 078, 084, 090, 096, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144, 150, 156
50 | 054, 060, 066, 072, 078, 084, 090, 096, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144, 150 
49 | 048, 054, 060, 066, 072, 078, 084, 090, 096, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144
43 | 042, 048, 054, 060, 066, 072, 078, 084, 090, 096, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138
37 | 036, 042, 048, 054, 060, 066, 072, 078, 084, 090, 096, 102, 108, 114, 120, 126, 132
31 | 030, 036, 042, 048, 054, 060, 066, 072, 078, 084, 090, 096, 102, 108, 114, 120, 126
25 | 024, 030, 036, 042, 048, 054, 060, 066, 072, 078, 084, 090, 096, 102, 108, 114, 120
19 | 018, 024, 030, 036, 042, 048, 054, 060, 066, 072, 078, 084, 090, 096, 102, 108, 114
13 | 012, 018, 024, 030, 036, 042, 048, 054, 060, 066, 072, 078, 084, 090, 096, 102, 108
07 | 006, 012, 018, 024, 030, 036, 042, 048, 054, 060, 066, 072, 078, 084, 090, 096, 102
01 | 000, 006, 012, 018, 024, 030, 036, 042, 048, 054, 060, 066, 072, 078, 084, 090, 096
---|--------------------------------------------------------------------------------------
   |-001, 005, 011, 017, 023, 029, 035, 041, 047, 053, 059, 065, 071, 077, 083, 089, 095

As constatações decorrem dos quadros mostrados e são evidentes por si mesmo: sempre haverá pares-dúplices-primos ainda que cresça o número de não-primos na linha, pois cada primo que surgir formará par com o seu antecessor.

Se toda questão matemática pode se resolver com diferentes equações, poderíamos esclarecer a conjectura e, quem sabe, confirmá-la com outros procedimentos, ainda que – tal como esse aqui, não bem enquadrado matematicamente, em se considerando o meu desconhecimento formal. Entretanto, suponho que basta o procedimento acima, pois, enfim, presumo ter com ele, com toda evidência lógica, demonstrado que todo par se constitui com a soma de números primos. É o que diz a Conjectura de Goldbach que, no meu entendimento, se confirma.

Par = (Par-aprimo)+(par-(par-aprimo) = aprimo+aprimo

Se formos extraindo de um par os primos da metade superior da linha dos números que o constituem, em mais de uma dessas equações restarão os primos da metade inferior.

Somente em duas hipóteses não ocorreriam somas dos primos para formar o par em questão:

a) se não houvesse primos na metade superior:

Metade inferior: 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0
Metade superior: 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0

Isso seria um absurdo matemático. Euclides já demonstrou que sempre existirão primos.

b) se os aprimos (primos e seus múltiplos) tivessem uma absoluta ordenação recíproca, ou seja, que sempre um primo de uma metade da linha coincidisse com um não-primo da outra metade e vice-versa:

Metade inferior: 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0
Metade superior: 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0

O que também é absurdo, pois, nesse caso, nunca ocorreria soma de primos. Definimos os primos como números irregulares de uma categoria de números ordenados, os aprimos excluídos dos seus múltiplos. Não há entre eles ordenação recíproca que os integrem.

Todos os aprimos contidos na linha do par somam entre si.

Quanto maior o par, mais primos contém e mais dúplices-pares-primos terá, e basta um dúplice-par-primo em cada par para confirmar a Conjectura. Ela é decorrente, lógica; o inverso dela, não.

Enfim,

Primo-primo = par
Par = (Par-primo)+(par-(par-primo) = primo+primo

Considerando-se a linha dos números negativos e positivos, podemos afirmar com segurança que todo par é a soma de dois primos.

Bibliografia