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Categoria: Laboratório de Física Quântica

Atualização: Quinta, 14 Janeiro 2010 10:08

Autor: Mendonça

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3. Autovalores e Autovetores

Quem já dedicou algum tempo da vida ao estudo das matrizes deve se lembrar que operar com elas pode ser uma tarefa bastante tediosa, principalmente quando é necessário efetuar multiplicações. Porém, quando a matriz só apresenta 0’s fora da diagonal principal (as chamadas matrizes diagonais), a multiplicação e muitas outras operações (e.g. exponenciação) tornam-se triviais. O exemplo abaixo serve como ilustração desse fato.

Para realizar a multiplição

eu precisei de lápis, papel e aproximadamente 30 s de concentração. Já a multiplicação

eu fiz mentalmente, e todo o tempo que eu precisei foi o de lembrar que 1×5 = 5 e 4×8 = 32 (algo que levou muito menos que 30 s).

Você pode perceber que no caso da multiplicação de matrizes diagonais tudo se passa como se bastasse multiplicar os termos das posições correspondentes de cada matriz, sendo a solução a matriz com os produtos de cada multiplicação. Já no caso da "matriz cheia", essa "regra" visivelmente não se aplica (você pode facilmente verificar isso).

Na verdade, existe uma regra universal para multiplicar matrizes (independente das matrizes envolvidas serem diagonais ou não). O fato de eu ter muito melhor performance em aplicar essa regra ao caso de matrizes diagonais é um reflexo de que, para esse tipo de matriz, a regra universal se reduz ao caso da "multiplicação termo a termo". Como eu já sabia disso, eu simplesmente "multipliquei termo a termo" no segundo caso, ganhando tempo e economizando papel.

Mas o que isso tudo tem a ver com física quântica? Bem, acabamos de ver que os operadores podem ser representados por matrizes, logo é mais do que natural supor que isso implique em várias operações matriciais, como multiplicação, exponenciação, etc...

Além de termos visto o aparecimento das matrizes representando um operador na seção anterior, vimos também que um mesmo operador pode ser representado por matrizes diferentes se usarmos bases diferentes. Juntando isso com o que acabamos de descobrir sobre as matrizes diagonais, seria esperto procurar uma base em que um certo operador ficasse representado por uma matriz diagonal! Isso facilitaria sobremaneira nossas contas (e como veremos mais adiante, a importância dessa base vai muito além de meramente simplificar os cálculos – embora essa seja sempre uma boa motivação).

De fato, buscar uma base como essa é uma excelente idéia, e de tão boa que é os kets que a constituem recebem até um nome especial: auto-estados ou autovetores, enquanto que os números na diagonal da matriz diagonal recebem o nome de autovalores.

O procedimento para se descobrir essa base especial é conhecido como diagonalização (razões óbvias), sendo muito bem estabelecido pela álgebra linear. Não é nosso propósito ensinar a diagonalizar, mas apenas para deixar as coisas mais palpáveis, vamos escrever o operador de Hadamard na base em que sua representação matricial é diagonal (essa proposta de trabalho é normalmente resumida a "vamos diagonalizar Hadamard").

Denotando essa base especial por {|h1

onde

Substituindo esses kets (e os bras correspondentes) na eq. (7), várias simplificações ocorrem para levar ao resultado

Note que os termos |h1

Ou, de forma ainda mais compacta, podemos dizer que o operador de Hadamard na base {|h1

Toda vez que virmos um operador representado por uma matriz diagonal, podemos imediatamente concluir que a base em que ele está escrito é a base de seus autovetores; além disso, os números que aparecem na diagonal são os autovalores daquele operador. No nosso exemplo, vemos que o operador de Hadamard tem autovalores -1 e 1.

Cada autovalor se relaciona a um autovetor em particular. A representação da equação (14) é talvez a mais informativa sobre essa correspondência entre autovalores e autovetores. Olhando para ela, é fácil intuir que o autovetor |h1

É importante salientar que autovalores e autovetores de um certo operador são sempre os mesmos, independentemente da representação adotada. Isso significa que essas são grandezas características somente do operador, e elas caracterizam-no completamente. Assim sendo, você pode afirmar que o operador de Hadamard (na sua forma mais pura e abastrata) tem autovetores |h1

Embora ainda haja muito a ser dito sobre tudo o que foi mencionado aqui, já temos quase todos os elementos necessários para entender a minha história com o postulado das observáveis, vamos a ela!