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Categoria: Laboratório de Física Quântica

Atualização: Quarta, 13 Janeiro 2010 23:41

Autor: Mendonça

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1.2 Postulado 2 - EVOLUÇÃO

Um sistema físico fechado num estado V, evolui para um novo estado W depois de um certo tempo, de acordo com a seguinte operação matricial

onde U é uma matriz unitária de n linhas e n colunas com elementos complexos.

Vamos aos esclarecimentos...

Esse postulado mostra como um estado pode se transformar em outro depois de um certo tempo, ele dá a dinâmica da física quântica.

A evolução temporal se processa levando o sistema do estado V para o estado W de uma maneira muito simples: basta multiplicar a matriz-coluna V pela matriz-quadrada U, o resultado é o novo estado W. Lembre-se que uma matriz quadrada é uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas, por isso ela fica com a forma de um quadrado. Um quadrado de que tamanho? Isso depende do tamanho do estado inicial V. Se ele tinha só 2 linhas, a matriz U vai ter 2 linhas e 2 colunas. Genericamente falando, sistemas descritos por estados de n linhas, terão sua matriz de evolução temporal com n linhas e n colunas.

É claro que, dado um estado V, faz muita diferença para o estado W se os elementos da matriz U são esses ou aqueles. A rigor, infinitas matrizes U podem ser escritas, mas para respeitar direitinho o postulado, todas elas tem que satisfazer uma condição matemática chamada de unitariedade, ou seja, a matriz U tem que ser do tipo unitária. Não é difícil se convencer de que esse é um vínculo natural para a física quântica, e no futuro eu vou tentar explicar o porquê, por enquanto vamos aceitá-lo (afinal, postulados existem para ser seguidos).

Por hora, como nós ainda não estamos resolvendo problema algum, vamos apenas ter em mente que, seja qual for a matriz U, ela tem que ser unitária. O que isso significa? É simples, significa que as duas condições abaixo devem ser satisfeitas:

Para entender essas equações, vamos começar esclarecendo cada um de seus termos.

Uma vez que já sabemos quem é U, partimos logo para o termo seguinte, U†, a chamada matriz adjunta de U. Este, nada mais é senão a matriz obtida a partir de U via duas operações matemáticas: transposição e conjugação.

A matriz transposta de U (normalmente representada por U^t) é a matriz que se obtém transformando linhas em colunas: a 1ª linha vira 1ª coluna, a 2ª linha vira 2ª coluna, e assim por diante. A conjugação é ainda mais simples porque não é uma operação tipicamente matricial, ela existe desde o aparecimento dos números complexos, e consiste em trocar o sinal da parte imaginária. Quando conjugamos uma matriz, simplesmente trocamos o sinal das partes imaginárias de todos os seus elementos (normalmente denota-se por U* a conjugação de uma matriz U). Vamos olhar para essas operações através de um exemplo. Considere a matriz U abaixo:

Para obter U†, devemos transpor e conjugar essa matriz (a ordem dessas operações não influi no resultado). Neste exemplo, escolhemos transpor primeiro

E agora, conjugando a matriz transposta, resulta a matriz adjunta de U

Com isso ilustramos o significado dos termos da equação (6), ainda há mais o que falar sobre essa equação, mas vamos primeiro terminar nossa explicação sobre os símbolos utilizados.

Na equação (7), aparece o número 1 escrito como . O que isso quer dizer? Na verdade aquele não é o número 1, mas sim a matriz que o representa, a chamada matriz identidade. Se multiplicarmos qualquer matriz pela matriz identidade, o resultado é a matriz original, uma propriedade que lembra muito a multiplicação de qualquer número por 1. A matriz identidade é sempre uma matriz quadrada preenchida com 1 na diagonal principal e 0 em todos os outros lugares, como mostrado abaixo

Nas definições acima, usamos índices para diferenciar matrizes identidade de tamanhos diferentes, entretanto normalmente não se faz isso, o contexto costuma deixar claro qual é o tamanho da matriz identidade (tem tantas linhas e colunas quanto o número de linhas do estado do sistema).

Agora que sabemos ler as equações (6) e (7), fica mais fácil entender as propriedades que elas impõem à matriz U, como mostramos em seguida.

A equação (6) classifica a matriz U como normal. Basicamente, isso significa que não importa a ordem que multiplicamos U por U†, o resultado é sempre o mesmo. Essa propriedade comutativa da multiplicação, popularmente conhecida como "a ordem dos fatores não altera o produto", é sempre válida quando lidamos com números, porém, no espaço das matrizes, ela raramente é satisfeita. Quando essa raridade acontece, dizemos que as matrizes comutam entre si, e conclusões mil podem ser tiradas disso. Aqui, vamos nos limitar a definir que uma matriz U e sua matriz adjunta U† comutam entre si se, e somente se, U for normal.

A equação (7) completa a exigência de que U seja unitária (toda matriz unitária é normal, mas nem toda matriz normal tem que ser unitária), estabelecendo que o produto de U por U†, além de ter que ser igual ao produto de U† por U (eq. (6)), tem também que dar a matriz identidade. Ou seja, não é nada fácil sortear uma matriz unitária numa urna que contenha todas as matrizes! (embora isso seja verdade, é possível mostrar que existem infinitas matrizes unitárias).

A matriz U da equação (8) é uma dessas matrizes unitárias difíceis de encontrar. Você pode verificar isso checando as seguintes multiplicações matriciais (lembre-se que há uma regra toda especial para multiplicar matrizes, e ela não é multiplicar elemento por elemento...)

Já temos o bastante para apreciar sobre esse segundo postulado, vamos seguir adiante...