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Categoria: Laboratório de Física Quântica

Atualização: Quarta, 13 Janeiro 2010 23:41

Autor: Mendonça

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1. AS REGRAS DA FÍSICA QUÂNTICA

Chegou a hora de dizer quais regras são essas que a física quântica impõe sobre as tentativas dos físicos em descrever a natureza. Como mostra a definição, a física quântica é um fundamento matemático, e portanto as regras têm um forte apelo matemático.

Nessa primeira apresentação dos postulados, eu vou tentar suprimir toda a matemática que eu conseguir, mantendo o estritamente necessário para entender o algoritmo de Deutsch (no futuro, teremos a oportunidade de fazer o inverso: colocar toda a matemática envolvida e entender porque cada nuance matemática é importante).

Mesmo assim, não nos livramos de toda a matemática, mas o que resta dela é realmente elementar, tipicamente coberto nos cursos do ensino médio. Por isso, na exposição que se segue, eu assumo conhecidos para o leitor os conceitos de matrizes, multiplicação de matrizes e números complexos.

1.1 Postulado 1 - ESTADO

O estado de um sistema físico fechado é totalmente descrito por uma matriz de n linhas e 1 coluna preenchida com números complexos. Além disso, os números complexos devem ser tais que se somarmos os módulos elevados ao quadrado de todos os elementos da matriz, o resultado deve ser igual a 1.

Se isso soou confuso, vamos tentar esclarecer.

O primeiro ponto a ser discutido vem já nas primeiras palavras do postulado: o que é que se quer dizer com estado de um sistema físico? Essa é uma ótima pergunta! A resposta padrão é que o estado é a representação do que um observador conhece sobre o sistema em questão. Toda vez que falarmos em estado, é a esse conceito que estaremos nos referindo, porém, vale destacar que, como muitos conceitos da física quântica, essa noção de estado é bastante polêmica (no futuro deveremos ter a oportunidade de entender o por que).

E o que é um sistema físico fechado? A palavra fechado aparece para frisar que o sistema está isolado do resto do universo, ou seja, ele não interage com o ambiente ou com qualquer outro sistema que se encontre em suas vizinhanças. É verdade que essa é uma hipótese difícil de aceitar, mas em muitos casos a interação de um sistema com o ambiente é realmente desprezível, validando a aproximação de sistema fechado. De qualquer forma, a física quântica também se ocupa do estudo de sistemas abertos, mas essa é uma outra história.

Agora vem a parte mais fácil. O estado do sistema é descrito por uma matriz-coluna de números complexos, tais que a soma dos módulos ao quadrado de todos os elementos é igual a 1, ou seja, se chamarmos o estado do sistema de V, podemos representá-lo por

Nota sobre notação: Numa matriz V, os elementos são representados por V_ij, onde i indica o número da linha (filas horizontais) e j o número da coluna (filas verticais) em que o elemento se encontra, determinando inequivocamente sua posição. Numa matriz-coluna, obviamente todos os j serão iguais a 1, como mostrado acima. Nossa matriz-coluna tem, a priori, um número indeterminado de linhas, por isso fizemos o indíce i variar de 1 até n (onde n é um número inteiro e positivo qualquer). Os elementos intermediários estão representados por e por ··· . Por razões que ficarão claras mais adiante, os elementos dessa matriz-coluna são chamados de amplitudes de probabilidade.

O número de elementos da matriz-coluna acima (n) varia dependendo do quão complicado é o sistema em questão, e normalmente dá-se a ele o nome de dimensão ou grau de liberdade.

Temos aqui já uma razoável quantidade de informação para digerir; um exemplo seria providencial para incorporar todos esse conceitos. Mas se você pensar um pouco, vai concluir que, nesse caso, não é tão simples conseguir um exemplo para esclarecer as coisas. Isso porque um exemplo tem a função de trazer para o terreno conhecido um assunto desconhecido. E este é todo o nosso problema aqui: como vamos trazer para um terreno conhecido uma teoria desenvolvida para descrever fenômenos que não experimentamos, isto é, desconhecidos à nossa percepção? Nesse caso um exemplo tem tudo para não dar certo, mas vamos tentar mesmo assim...

Vamos descrever o resultado do lançamento de uma moeda, um fenômeno inquestionavelmente clássico (para o qual temos bastante intuição). Para isso, vamos usar o que foi estabelecido no primeiro postulado da física quântica.

Depois que a moeda cai e pára de rodopiar, o nosso conhecimento sobre o sistema consiste em saber se a face exposta é cara ou coroa. De acordo com o primeiro postulado, isso pode ser representado através de matrizes-coluna, por exemplo:

Essa representação deixa claro que o número de cima da matriz se relaciona com a probabilidade do resultado ser cara, e o número de baixo com a probabilidade do resultado ser coroa. Assim, um resultado cara é 100% cara e 0% coroa, e o resultado coroa é 0% cara e 100% coroa.

Note que, nesse caso, somente 2 dimensões foram suficientes para descrever o estado da moeda (se estivéssemos descrevendo um dado, precisaríamos de 6 elementos na matriz, ou seja, 6 dimensões). Além disso, é fácil verificar que nossas matrizes respeitam a condição de normalização do primeiro postulado, isto é: a soma dos módulos ao quadrado de todos os elementos da matriz dá 1, afinal

Até aqui, ao contrário do que esperávamos, nosso exemplo vem se mostrando um sucesso! Vamos aproveitar a boa maré para levá-lo um pouco mais adiante.

Considere agora que aquela mesma moeda foi colocada numa caixa hermeticamente fechada, tal que você não possa mais vê-la. Você sacode a caixa e então se pergunta: como eu vou descrever o estado dessa moeda lá dentro da caixa?

Agora você não sabe se o resultado foi cara ou coroa, mas não há dúvida de que foi uma coisa ou outra. Embora possa parecer que não, mesmo nesse caso você tem alguma informação sobre o sistema: considerando que a moeda não era viciada, é tão provável que o resultado seja cara quanto coroa. Logo, devemos ser capazes de escrever um estado para essa moeda. Como seria esse estado?

Naturalmente ele tem o mesmo número nos dois elementos de matriz, pois a cara é tão provável quanto a coroa. O número que satisfaz a condição de normalização é , e portanto o estado deve ser

Significando que o resultado foi cara com 50% de probabilidade, ou coroa com os outros 50%; ou, o que é equivalente, se você repetir o experimento um número enorme de vezes, metade das vezes você vai obter cara e na outra metade coroa (note que a probabilidade é o módulo da amplitude de probabilidade elevado ao quadrado:

Ora, você deve estar pensando, o que tem de novo nisso? Tudo o que foi dito parece não passar de uma linguagem elaborada para descrever uma situação corriqueira e sem nenhum atrativo. Qual é a novidade desse tal de primeiro postulado então? Por que o exemplo está funcionando tão bem, ao contrário do que esperávamos?

Realmente o exemplo ilustra muito bem a construção das matrizes representantes do estado, mas não basta construir as matrizes se você não aprecia o significado do seu resultado. Para que eu possa deixar mais claro aonde estou querendo chegar, vamos dar uma olhada mais atenta para a equação (5). Várias leituras podem ser feitas sobre um objeto como este isoladamente, e certamente a leitura clássica que fizemos é válida, mas não única.

Como dissemos, aquele estado indica que numa repetição do mesmo experimento os resultados se dividirão igualmente entre cara e coroa. Mas ele também não poderia indicar que o resultado foi cara e coroa, simultaneamente? (permita-se pensar que esse é um resultado possível, como você o representaria na forma de estado?). Você talvez esteja pensando que é loucura levantar uma hipótese como essa, mas é exatamente essa a leitura que a física quântica faz para estados como este.

Não é surpresa que pareça loucura, afinal nós não vemos moedas darem carem e coroa por aí. Como eu havia dito, o exemplo não podia funcionar direito – em algum momento alguma coisa estranha iria acontecer. Na verdade essa coisa só é estranha porque estamos falando de moedas, mas no mundo microscópico esse comportamento é normal! São os chamados estados de superposição, que como veremos, são fundamentais para o Algoritmo de Deutsch, e talvez a maior de todas as novidade da física quântica (e elas só estão começando)

1.2 Postulado 2 - EVOLUÇÃO

Um sistema físico fechado num estado V, evolui para um novo estado W depois de um certo tempo, de acordo com a seguinte operação matricial

onde U é uma matriz unitária de n linhas e n colunas com elementos complexos.

Vamos aos esclarecimentos...

Esse postulado mostra como um estado pode se transformar em outro depois de um certo tempo, ele dá a dinâmica da física quântica.

A evolução temporal se processa levando o sistema do estado V para o estado W de uma maneira muito simples: basta multiplicar a matriz-coluna V pela matriz-quadrada U, o resultado é o novo estado W. Lembre-se que uma matriz quadrada é uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas, por isso ela fica com a forma de um quadrado. Um quadrado de que tamanho? Isso depende do tamanho do estado inicial V. Se ele tinha só 2 linhas, a matriz U vai ter 2 linhas e 2 colunas. Genericamente falando, sistemas descritos por estados de n linhas, terão sua matriz de evolução temporal com n linhas e n colunas.

É claro que, dado um estado V, faz muita diferença para o estado W se os elementos da matriz U são esses ou aqueles. A rigor, infinitas matrizes U podem ser escritas, mas para respeitar direitinho o postulado, todas elas tem que satisfazer uma condição matemática chamada de unitariedade, ou seja, a matriz U tem que ser do tipo unitária. Não é difícil se convencer de que esse é um vínculo natural para a física quântica, e no futuro eu vou tentar explicar o porquê, por enquanto vamos aceitá-lo (afinal, postulados existem para ser seguidos).

Por hora, como nós ainda não estamos resolvendo problema algum, vamos apenas ter em mente que, seja qual for a matriz U, ela tem que ser unitária. O que isso significa? É simples, significa que as duas condições abaixo devem ser satisfeitas:

Para entender essas equações, vamos começar esclarecendo cada um de seus termos.

Uma vez que já sabemos quem é U, partimos logo para o termo seguinte, U†, a chamada matriz adjunta de U. Este, nada mais é senão a matriz obtida a partir de U via duas operações matemáticas: transposição e conjugação.

A matriz transposta de U (normalmente representada por U^t) é a matriz que se obtém transformando linhas em colunas: a 1ª linha vira 1ª coluna, a 2ª linha vira 2ª coluna, e assim por diante. A conjugação é ainda mais simples porque não é uma operação tipicamente matricial, ela existe desde o aparecimento dos números complexos, e consiste em trocar o sinal da parte imaginária. Quando conjugamos uma matriz, simplesmente trocamos o sinal das partes imaginárias de todos os seus elementos (normalmente denota-se por U* a conjugação de uma matriz U). Vamos olhar para essas operações através de um exemplo. Considere a matriz U abaixo:

Para obter U†, devemos transpor e conjugar essa matriz (a ordem dessas operações não influi no resultado). Neste exemplo, escolhemos transpor primeiro

E agora, conjugando a matriz transposta, resulta a matriz adjunta de U

Com isso ilustramos o significado dos termos da equação (6), ainda há mais o que falar sobre essa equação, mas vamos primeiro terminar nossa explicação sobre os símbolos utilizados.

Na equação (7), aparece o número 1 escrito como . O que isso quer dizer? Na verdade aquele não é o número 1, mas sim a matriz que o representa, a chamada matriz identidade. Se multiplicarmos qualquer matriz pela matriz identidade, o resultado é a matriz original, uma propriedade que lembra muito a multiplicação de qualquer número por 1. A matriz identidade é sempre uma matriz quadrada preenchida com 1 na diagonal principal e 0 em todos os outros lugares, como mostrado abaixo

Nas definições acima, usamos índices para diferenciar matrizes identidade de tamanhos diferentes, entretanto normalmente não se faz isso, o contexto costuma deixar claro qual é o tamanho da matriz identidade (tem tantas linhas e colunas quanto o número de linhas do estado do sistema).

Agora que sabemos ler as equações (6) e (7), fica mais fácil entender as propriedades que elas impõem à matriz U, como mostramos em seguida.

A equação (6) classifica a matriz U como normal. Basicamente, isso significa que não importa a ordem que multiplicamos U por U†, o resultado é sempre o mesmo. Essa propriedade comutativa da multiplicação, popularmente conhecida como "a ordem dos fatores não altera o produto", é sempre válida quando lidamos com números, porém, no espaço das matrizes, ela raramente é satisfeita. Quando essa raridade acontece, dizemos que as matrizes comutam entre si, e conclusões mil podem ser tiradas disso. Aqui, vamos nos limitar a definir que uma matriz U e sua matriz adjunta U† comutam entre si se, e somente se, U for normal.

A equação (7) completa a exigência de que U seja unitária (toda matriz unitária é normal, mas nem toda matriz normal tem que ser unitária), estabelecendo que o produto de U por U†, além de ter que ser igual ao produto de U† por U (eq. (6)), tem também que dar a matriz identidade. Ou seja, não é nada fácil sortear uma matriz unitária numa urna que contenha todas as matrizes! (embora isso seja verdade, é possível mostrar que existem infinitas matrizes unitárias).

A matriz U da equação (8) é uma dessas matrizes unitárias difíceis de encontrar. Você pode verificar isso checando as seguintes multiplicações matriciais (lembre-se que há uma regra toda especial para multiplicar matrizes, e ela não é multiplicar elemento por elemento...)

Já temos o bastante para apreciar sobre esse segundo postulado, vamos seguir adiante...

1.3 Postulado 3 - MEDIDA

Quando um sistema físico no estado

é medido, o resultado da medida é um certo valor m com probabilidade p(m) = |V_m1|², e o estado do sistema é imediatamente colapsado para

Vamos imediatamente dar um exemplo para tirar a má impressão. Lembra daquela moeda esquisita do postulado 1? Aquela que dava cara e coroa ao mesmo tempo? Vamos retomá-la aqui.

Parece não haver dúvida de que o estado de uma "moeda quântica" como essa é

Realizar uma medida significa, nesse caso, abrir a caixa e olhar para a moeda (afinal de contas, quem não está curioso para ver uma moeda que é simultâneamente cara e coroa?). O resultado disso é uma grande decepção... segundo o postulado da medida, se você abrir a caixa vai medir o valor 1 com probabilidade p(1) = 1/2, o que aqui significa que o estado do sistema vai colapsar para cara com 50% de probabilidade, ou seja, o estado passa a ser:

e com probabilidade p(2)=1/2, o valor 2 é medido, significando que o estado do sistema colapsa para coroa também com probabilidade 50%

Isso significa que, mesmo estando a moeda num estado de superposição, quando você olha para ela, ela se mostra como cara ou coroa, e a partir de então ela realmente passa a estar num desses estados ordinários!

E revoltante? Talvez... Por que devemos acreditar que um estado de superposição existe se nunca ninguém viu um? (e de acordo com o postulado da medida nem vai ver!)

O fato é que sem as superposições vários fenômenos reais que nós vemos acontecer não teriam explicação física. Nesse sentido, observar esses fenômenos pode ser entendido como uma forma de "observar as superposições".

Ainda há muito para ser dito sobre esse postulado da medida, e talvez ele seja de todos o mais controverso entre os físicos, vamos entender porquê. Note que ele também dita uma dinâmica ao sistema, ou seja, ele também modifica o estado. Mas o segundo postulado já existe para isso, o que está acontecendo de novo aqui?

Há de se notar que a dinâmica unitária do segundo postulado é essencialmente diferente da dinâmica que aparece aqui. Lá, uma vez definido o estado inicial do sistema, saberíamos prever inequivocamente o novo estado num tempo subsequente, bastando para tanto conhecer a matriz U. Evoluções como essas são chamadas determinísticas. Aqui, embora saibamos que o estado pode mudar, não podemos com certeza dizer qual vai ser o novo estado depois da medida. Como vimos no caso da "moeda", depois de medir, tanto podemos obter cara quanto coroa, nós simplesmente não sabemos o que vai ser. Neste caso, o máximo que conseguimos é atribuir probabilidades aos nossos possíveis resultados, essas são evoluções probabilísticas.

Isso se torna confuso quando pensamos no significado de medir. Aparatos de medida são, em essência, sistemas quânticos, então o sistema a ser medido e o sistema medidor formam, juntos, um sistema físico fechado, e portanto a medida deveria poder ser descrita através do segundo postulado! O que alguns físicos procuram é, então, obter o terceiro postulado a partir do segundo, mas até hoje sem sucesso. Enquanto uma solução satisfatória para esse problema da medida não for encontrada, devemos continuar enunciando o postulado da medida como um dos postulados da física quântica. E é por isso que ele está aqui.

Finalmente, para aqueles mais impacientes, aqui vai uma palhinha sobre a origem da anunciada segurança absoluta da criptografia quântica. O exemplo da "moeda" deixa claro que, na física quântica, a medida interefere de forma seríssima no sistema (algo que você não esperaria classicamente). Vejamos uma das possíveis conseqüências deste fato.

Suponha que Alice e Bob estejam tentando conversar secretamente, e para isso eles troquem "moedas quânticas" através de um canal público. É claro que Eva, a espiã, vai ter acesso às moedinhas, afinal o canal é público. No entanto, quando ela tenta extrair a informação, ela necessariamente está realizando uma medida, consequentemente deixando a assinatura de sua indesejável presença no sistema. Usando alguns artíficios espertos, Alice e Bob podem então perceber que eles estão sendo vítimas de espionagem, abortando imediatamente a comunicação, tudo isso graças ao postulado da medida!

Ainda há muito a ser dito sobre cada um desses postulados. E de fato, há ainda outros postulados, mas o que vimos até agora é suficiente para entendermos o almejado Algoritmo de Deutsch: a cena do nosso próximo capítulo!

REFERÊNCIAS

[1] M. A. Nielsen e I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press (2000).

[2] P. Arrighi, Quantum Computation explained to my Mother, arXiv:quant-ph/0305045 (2003).

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