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Sistemas de Notação

Detalhes

Categoria: Matemática Numaboa

Atualização: Terça, 08 Junho 2010 20:04

Autor: vovó Vicki

Acessos: 39782

Os sistemas numéricos abordados são os dos Números Binários (ou números duais), Números Decimais e Números Hexadecimais. Estes três sistemas são os mais utilizados. Existem ainda os números octais e os BCD, porém de uso bastante restrito.

O sistema decimal

Os números decimais são os que utilizamos no nosso dia a dia, motivo pelo qual são bastante familiares. Deci significa dez, que é a base do sistema decimal e que, não por acaso, corresponde aos dez dedos que temos nas mãos. Dificilmente alguém tem dificuldade de usar este sistema, mas... será que realmente sabemos qual é a verdadeira estrutura do sistema decimal?

Observe a tabela ao lado onde partimos do valor unitário. Multiplicando este valor 1 pela base do sistema (10), obtemos 10 e aumentamos uma casa. Se multiplicarmos o valor obtido novamente pela base do sistema (10x10), obtemos 100 e novamente uma casa é adicionada... e assim sucessivamente. Tomemos como exemplo o número 54. É muito fácil e quase institivo avaliar esta grandeza mas, como é que nosso cérebro "percebe" o número 54? E, num passo adiante, como é que o computador lida com este número? Precisamos desmembrá-lo para obter a respota. Por exemplo, vamos trabalhar com o número 8712:

O desmembramento do número 2061 seria logicamente 2x10³ + 0x10² + 6x10¹ + 1x10⁰. Note que para cada casa existe sempre um (e apenas um) dígito. Resumindo:

     O sistema decimal possui dez dígitos diferentes (0 a 9)
     Cada casa decimal pode conter apenas um dígito e
     Cada casa significa um "pulo" de dez dígitos.

Esta história de que cada casa pode ter apenas um dígito fica clara quando se faz uma adição com os números desmembrados. Por exemplo, a soma de 74 com 2061 dá o resultado mostrado na tabela à esquerda. O resultado é indefinido porque houve um "estouro" na segunda casa decimal, ou seja, ao invés de um dígito obtivemos dois. Para chegar ao resultado correto precisamos desmembrar a segunda casa e transferir o 1 para a terceira casa, ou seja, 13x10¹ resulta em 1x10² + 3x10¹. O valor da terceira casa passa a ser 1 e o da segunda 3. Assim se obtém o resultado correto, ou seja, 2135.

Antes de "descobrir" o zero, as notações dos números eram bastante precárias e os cálculos extremamente complicados. Os números romanos, por exemplo, não possuem o zero. Imagine fazer o mesmo cálculo acima, 2061 + 74, usando a notação dos números romanos. Se você ainda se lembra, a coisa fica assim: MMLXI + LXXIV = MMCXXXV. Coisa de louco, né não?

O princípio de ocupar cada casa com apenas um dígito e a possibilidade de indicar uma casa vazia através do uso do zero foi o princípio para criar os sistemas de notação e para efetuar cálculos matemáticos elaborados. Agradeça os hindus e os árabes pelo que hoje conhecemos como números arábicos! :thumbup:

Os princípios acima mencionados podem parecer básicos demais (bobinhos mesmo), porém são fundamentais para entender qualquer outro sistema de notação. O princípio é sempre o mesmo, o que muda é a base do sistema. Como já disse acima, a avaliação de um valor decimal é quase que instintiva, o que não acontece em sistemas de base diferente. Podes crer

O sistema binário

O prefixo "Bi" significa dois, indicando que o sistema binário é baseado em 2. Fazendo uma analogia com o sistema decimal,

     O sistema binário possui dois dígitos diferentes (0 e 1)
     Cada casa binária pode conter apenas um dígito e
     Cada casa significa um "pulo" de dois dígitos.

A tabela abaixo mostra a estrutura do sistema binário:

Analise o último valor: 10000 no sistema binário corresponde a 16 no sistema decimal. Você seria capaz de dizer qual é o valor decimal de 110110 binário? Pois bem, instintivamente NÃO sabemos! Precisamos usar os mesmos princípios que aprendemos no sistema decimal, adequando-os para o sistema binário:

Usando os princípios que já conhecemos, fazer a conversão do sistema binário para o decimal não foi nenhum bicho de sete cabeças - e o contrário também não vai ser. Vamos tomar como exemplo o decimal 4711 e seguir o raciocínio da divisão pela base do sistema com determinação do resto da divisão. No sistema decimal, divida o número por 10 e anote o inteiro e o resto. Pegue o inteiro da primeira operação, divida novamente por 10 e guarde o inteiro e o resto... e assim sucessivamente. Com esta técnica obtém-se o resultado mostrado na tabela à esquerda.

Observe que os restos formam o número original na ordem inversa (4711 é o número original, 1174 está na ordem inversa). Com estas operações transformamos um número decimal em seu correspondente ... decimal! Não tem vantagem nenhuma, porém o mesmíssimo raciocínio vale para transformar um decimal no seu correspondente binário.

Repita o processo usando a base 2 e, depois dos cálculos, basta inverter os restos para obter a notação binária do número decimal, ou seja, 4711 decimal é igual a 1001001100111 binário (veja na tabela ao lado). Como o número de algarismos no sistema binário é muito menor do que no sistema decimal, para um decimal de 4 dígitos precisamos de 13 dígitos binários.

O sistema hexadecimal

Depois das explicações anteriores não há sistema que possa nos assustar Vamos lá: "hexa" significa seis e "deci" já sabemos que é dez. Portanto,

     O sistema hexadecimal possui 16 dígitos diferentes,
     Cada casa hexadecimal pode conter apenas um dígito e
     Cada casa significa um "pulo" de dezesseis dígitos.

Analisando a estrutura do sistema hexadecimal temos:

Tudo bem, os algarismos arábicos são apenas 10. Para montar o sistema hexadecimal faltam 6 símbolos que representem os dígitos do 10° ao 16°. Ao invés de "bolar" dígitos novos, optou-se pelo uso das 6 primeiras letras do alfabeto, portanto, de A a F. "A" é o décimo dígito, "B" o décimo primeiro, e assim por diante.

De posse destes elementos, que tal calcular o valor decimal de ABAFA (do número hexadecimal, não da palavra )? Veja na tabela acima que o método é sempre o mesmo e que transformar hexadecimal em decimal é tranquilo. Vamos ver como fica a coisa se quisermos transformar um valor decimal em hexa. Usaremos o método da divisão por 16 (porque a base é 16) e como exemplo o já conhecido valor 4711. Logo na primeira divisão obtemos o seguinte: 4711 / 16 = 294.4375. E como fica a história do resto? Basta passá-lo para a base 16. Observe na tabela abaixo que 4711 decimal corresponde a 1267 hexadecimal:

Mas, e se quisermos transformar uma notação hexadecimal em binária? Parece complicado mas, por incrível que pareça, é até mais fácil. Para cada dígito hexadecimal correspondem sempre 4 dígitos binários. Se você ainda se lembra, 4711 decimal corresponde a 1001001100111 binário e a 1267 hexadecimal. Separando o valor binário em blocos de 4 dígitos temos 0001.0010.0110.0111, cada bloco correspondendo a um dígito do valor hexa: 0001 (binário) = 1 (hexa), 0010 (binário) = 2 (hexa), 0110 (binário) = 6 (hexa) e 0111 (binário) = 7 (hexa). Basta conferir na tabela de dígitos hexa / decimal / binário.

O sistema octal

O sistema octal é do tempo dos processadores de 8 bits. Hoje em dia este tipo de notação praticamente não é usado. A título de curiosidade (e de treinamento), faça as conversões aplicando os princípios já explicados.

BCD

BCD vem de "binary-coded decimal" e é uma notação binária na qual cada dígito decimal é representado pelo seu numeral binário. Provavelmente você nunca ouviu falar deste tipo de notação porque é utilizada em setores muito especializados como eletrônica de monitores de cristal líquido (LCD), máquinas CNC, etc, quando há a necessidade de usar o equivalente binário de um dígito decimal. Por este motivo, a notação BCD também só possui 10 "padrões" de notação.

Um byte tem 8 bits (ou 8 posições) divididos em 2 nibbles (de 4 posições). A notação BCD, portanto, ocupa apenas um niblle de cada byte, o outro é "desperdiçado". Por exemplo, o decimal 2 em BCD é 0000 0010. Para eliminar este desperdício, criou-se o padrão "Packed BCD", onde os dois nibbles são ocupados. Veja o exemplo com o decimal 5319 em BCD e Packed BCD:

Observações

Na Caixa de Ferramentas da Escolinha da Aldeia existe um conversor de bases numéricas * prontinho para ser usado online. Divirtam-se.