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Calculando com os egípcios

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Categoria: Matemática Numaboa

Atualização: Domingo, 14 Junho 2009 15:42

Autor: vovó Vicki

Acessos: 38445

Infinitas possibilidades

Uma fração qualquer pode ser representada como uma soma de frações unitárias de várias formas diferentes se o denominador for menor do que o numerador, ou seja, se em n/d, n for menor do que d. Por exemplo:

     3/4 = 1/2 + 1/4
     3/4 = 1/2 + 1/8 + 1/12 + 1/24

A pergunta é: quantas somas diferentes de frações unitárias podem representar o valor 3/4? Para isto, vamos considerar a seguinte igualdade:

     1 = 1/2 + 1/3 + 1/6

Esta igualdade está correta porque, se transformarmos todas as frações para um denominador comum (18), obtemos os resultado 9/18 + 6/18 + 3/18 = 18/18 = 1. Guardem bem esta igualdade, ela vai servir de apoio para encontrarmos as mais diversas somas de frações unitárias para determinada fração.

     3/4 = 1/2 + 1/4     e     1 = 1/2 + 1/3 + 1/6

Como 1/4 é 1 dividido por 4 então, se dividirmos a igualdade por 4 obtemos

     1/1x4 = 1/2x4 + 1/3x4 + 1/6x4
     1/4   = 1/8   + 1/12  + 1/24

Este resultado pode substituir o valor 1/4 obtido na primeira soma que representa 3/4, ou seja

    3/4 = 1/2 + 1/8 + 1/12 + 1/24

Da mesma forma que substituímos 1/4 por 1/8 + 1/12 + 1/24, podemos substituir 1/24 por outra soma de frações unitárias e obter

     3/4 = 1/2 + 1/8 + 1/12 + 1/24
     3/4 = 1/2 + 1/8 + 1/12 + 1/48 + 1/72 + 1/144

Este processo pode ser repetido infinitas vezes o que nos leva à conclusão de que existem infinitas somas de frações unitárias que podem representar uma fração. A única restrição é, como já foi dito anteriormente, que o numerador precisa ser menor do que o denominador.

Achando as frações unitárias

O método clássico para se encontrar as frações unitárias que representam uma fração cujo resultado é menor do que 1 é o método de Fibonacci, também conhecido como algoritmo guloso (greedy algorithm). Fibonacci publicou este método no seu livro Liber Abaci editado em 1202. As condições que precisam ser observadas são:

• n/d < 1
• Se n = 1, então o problema está resolvido porque se trata de uma fração unitária
• Estamos interessados em frações onde n > 1

O método consiste em retirar a maior fração de n/d. Com o(s) resto(s), repete-se o processo. Acompanhe o exemplo:

     521/1050

     1050 ÷ 521 = 2.015

O resultado é maior do que 2 e, o próximo valor maior do que 2 é 3. Neste caso, a maior fração que se pode tirar de 521/1050 é 1/3. E qual é o resto?

     521/1050 - 1/3 = ?

     1050 ÷ 3 = 350

     521/1050 - 1/3 = 521/1050 - 1 x 350/3 x 350
                    = 521/1050 - 350/1050
                    = 171/1050

Podemos simplificar a fração 171/1050 dividindo o nominador e o denominador por 3:

     171 ÷ 3/1050 ÷ 3 = 57/350

Se o resto é 57/350, retiramos novamente a maior fração deste valor:

     57/350

     350 ÷ 57 = 6.1403

O resultado é maior do que 6 e, o próximo valor maior do que 6 é 7. Agora, a maior fração que se pode retirar de 57/350 é 1/7. Só que, mais uma vez, há um resto.

     57/350 - 1/7 = ?

     350 ÷ 7 = 50

     57/350 - 1/7 = 57/350 - 1 x 50/7 x 50
                  = 57/350 - 50/350
                  = 7/350

Podemos simplificar a fração 7/350 dividindo o numerador e o denominador por 7:

     7 ÷ 7/350 ÷ 7 = 1/50

Como o resto é uma fração unitária, a procura das frações unitárias chegou ao fim. Podemos expressar a fração 521/1050 em frações unitárias usando as frações retiradas e o último resto:

     251/1050 = 1/3 + 1/7 + 1/50

Está meio complicado? Hoje estava revisando este texto e tive uma idéia de como mostrar um modo mais simples e intuitivo de obter frações unitárias (Fibonacci que me desculpe :blush: ).