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Categoria: Matemática Numaboa

Atualização: Segunda, 22 Fevereiro 2010 11:34

Autor: vovó Vicki

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Coleções de objetos que têm um caráter em comum são denominados CONJUNTOS. A coleção de letras do alfabeto é um conjunto, a coleção dos números inteiros é um conjunto, seus CDs de música formam um conjunto, e por aí vai.

Vamos ver apenas alguns dos aspectos mais simples dos conjuntos. Seguem os tópicos abordados:

Cada objeto de um conjunto é chamado de ELEMENTO desse conjunto, ou seja, cada uma das letras do alfabeto é um elemento do conjunto alfabeto, cada CD da sua coleção é um elemento do conjunto CD.

Um dos campos onde os conjuntos têm grande importância é a criptografia, pois ela lida com conjuntos de letras, símbolos, números, bits, etc.

Geralmente o conjunto é indicado por uma letra maiúscula e seus elementos por letras minúsculas. Os elementos são enumerados entre chaves e separados por vírgulas. Para escrever "matematicamente" o conjunto das vogais de acordo com a convenção adotada temos:

Um conjunto fica bem determinado quando se conhece uma característica P dos seus elementos, isto é, uma propriedade que todos os elementos do conjunto, e SÓ eles, possuem. Por meio desta propriedade P é fácil reconhecer se determinado elemento pertence ou não ao conjunto. Neste caso, separamos a descrição da propriedade através de um traço vertical, cujo significado é "tal que":

Representação de Venn

A terceira forma de representar o conjunto das vogais é através de um diagrama. O diagrama abaixo é conhecido como Diagrama de Venn, do matemático inglês John Venn (1834-1923), e indica que todos os pontos no interior de uma linha fechada que não se entrelaça pertencem a determinado conjunto:

Para indicar que a vogal 'a' pertence ao conjunto V escrevemos a V. Para dizer que a consoante 'm' não pertence ao conjunto V, dizemos que m V.

Um conjunto que possui um único elemento é chamado de conjunto unitário. Um conjunto que não possui elementos é chamado de conjunto vazio e é representado por {}.

SUBCONJUNTOS

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de B se todos os elementos de A também pertencerem ao conjunto B. É o mesmo que afirmar que A está contido em B. Por exemplo, no conjunto de todos os seus CDs existem vários CDs dos Beetles. Neste caso, o subconjunto dos CDs dos Beetles está contido no conjunto dos seus CDs.

Da mesma forma, o conjunto das vogais V está contido no conjunto A que contém todas as letras do alfabeto, então {a, e, i, o, u} {a, b, c, d,... , z}

Podemos unir (somar), fazer a intersecção (comparar) e fazer a diferença (subtrair) de elementos de dois ou mais conjuntos.

Tomemos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 5, 6, 7} como base para as operações:

A União de Conjuntos

A UNIÃO dos conjuntos A e B é um novo conjunto contendo todos os elementos de A e B, ou seja, A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

A Intersecção de Conjuntos

A INTERSECÇÃO dos conjuntos A e B resulta num novo conjunto contendo apenas os elementos que são comuns, ou seja, A B = {3, 5}.

A Diferença de Conjuntos

A DIFERENÇA de B com A resulta num novo conjunto contendo os elementos de B que não pertençam a A, ou seja, B - A = {6, 7}.

EQUIVALÊNCIA DE CONJUNTOS

Dois conjuntos são considerados equivalentes quando podem ser colocados numa correspondência de um-para-um, ou seja, para cada elemento do primeiro conjunto há um elemento correspondente no segundo conjunto.

Conjuntos finitos possuem um número conhecido de elementos. Conjuntos finitos equivalentes (veja acima) possuem o mesmo número de elementos.

Um conjunto infinito é um conjunto equivalente a um subconjunto próprio dele mesmo. Aiiii :confused: - esta doeu! Por exemplo, o conjunto dos números inteiros é um conjunto infinito equivalente ao conjunto dos números inteiros pares - um subconjunto próprio dele mesmo. A função f(n)=2n é uma função um-para-um de todos os inteiros para os inteiros pares.

Esta definição tem algumas consequências curiosas. Por exemplo, imagine um hotel com um número infinito de apartamentos numerados 1, 2, 3, 4, ..., e que esteja lotado (todos os apartamentos têm hóspedes). Mesmo neste caso ainda existe um apartamento para um novo hóspede! Tudo o que precisamos fazer é mudar cada hóspede para o apartamento seguinte (1 vai para 2, 2 para 3, ..., n para n+1). Na realidade, mesmo estando lotado, este hotel ainda possui vagas para todos os que já estejam hospedados. Apenas precisamos mudar 1 para 2, 2 para 4, 3 para 6, ..., n para 2n para liberar os apartamentos 1, 3, 5,...

O final da história é que "o número de" elementos num conjunto infinito (sua cardinalidade) não se comporta como o de um conjunto finito.

Conjuntos infinitos são divididos em dois tipos: enumeráveis e não enumeráveis.

Os conjuntos infinitos enumeráveis (contáveis) são aqueles que são equivalentes a um subconjunto de números inteiros. Não há dúvida de que os números inteiros positivos, os números primos e os compostos, sejam contáveis. Da mesma forma, os números racionais, o conjunto de polinômios com coeficientes inteiros e até mesmo os números algébricos são enumeráveis.

Os conjuntos não enumeráveis (não contáveis) incluem os números reais, complexos, irracionais, transcendentais e o conjunto das potências de qualquer conjunto infinito enumerável.

CONJUNTOS NA CRIPTOLOGIA

Além disso, para cada chave k K corresponde uma regra de encriptação e uma regra de decifração, que podem ser expressas por: