Números de Fibonacci

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Categoria: Matemática Numaboa

Atualização: Domingo, 12 Abril 2009 23:03

Autor: vovó Vicki

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Na matemática, os Números de Fibonacci, designados por F(n), formam uma sequência definida recursivamente por:

    F(n) = 0   ...........................   se n = 0
    F(n) = 1   ...........................   se n = 1
    F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)   .........   se n 

Em outras palavras, a sequência ou série de Fibonacci começa com 0 e 1 e, depois disso, os elementos são encontrados pela soma do último com o penúltimo. Acompanhe:

    F(1) = 0
    F(2) = 1
    F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 0 = 1
    F(4) = F(3) + F(2) = 1 + 1 = 2
    F(5) = F(4) + F(3) = 2 + 1 = 3
    F(6) = F(5) + F(4) = 3 + 2 = 5
    F(7) = F(6) + F(5) = 5 + 3 = 8
    ...

Os primeiros 25 números da série são 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368.

Fazendo pacotes com
Gopala e Hemachandra

De acordo com Donald Knuth, autor do Livro "The Art of Computer Programming", esta sequência foi descrita pela primeira vez pelos matemáticos indianos Gopala e Hemachandra em 1150, que estavam investigando as melhores maneiras possíveis de empacotar itens de comprimento 1 e 2 (o ancestral do problema "knapsack"?). No ocidente, o primeiro a estudar esta série foi Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci. Sua biografia está na Escolinha da Aldeia/História da Matemática.

Fibonacci usou esta série para descrever o crescimento de uma população teórica de coelhos. Os números descrevem a quantidade de casais depois de n meses se for assumido que:

• No primeiro mês só existe um casal recém-nascido
• Casais recém-nascidos tornam-se férteis a partir do segundo mês de vida
• Cada mês, cada casal fértil produz um novo casal
• Os coelhos nunca morrem

Apesar de ser uma situação inverossímil, a história dos coelhos incestuosos serve para ilustrar uma das aplicações práticas desta sequência. Você saberia dizer quantos casais formam a população de coelhos depois de 6 meses?

A sequência de Fibonacci não é só uma coisa divertida ou um série simpática de números inteiros. Foi usada para otimizar empacotamentos (idéia inicial dos matemáticos indianos que criaram a sequência) e continua sendo utilizada na análise do algoritmo de Euclides para determinar o máximo divisor comum de dois números inteiros. Matiyasevich conseguiu mostrar que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma equação diofantina, o que fez com que ele resolvesse o décimo problema de Hilbert. Esta série também ocorre numa fórmula para as diagonais do triângulo de Pascal e, por incrível que pareça, pode ser observada com grande frequência na natureza e na música.

• Pegando carona com Fibonacci

A Sequência de Lucas ou série de Lucas foi descrita por Leonhard Euler em 1748 no seu Introductio in Analysin Infinitorum. Na verdade, é uma série de Fibonacci especial onde L(n) = F(n - 1) + F(n + 1). Assim, L(1) = 0 + 1 = 1, L(2) = 1 + 2 = 3, L(3) = 1 + 3 = 4 e L(4) = 2 + 5 = 7.

Se existe um sequência Fibonacci, porque não criar uma Tribonacci, Tetrabonacci, Penta, Hexa, etc? As mais conhecidas (e que obtiveram algum sucesso) foram a Tribonacci e a Tetrabonacci.

A sequência Tribonacci começa com três termos Fibonacci e, cada termo subsequente, é a soma dos três anteriores. Assim, se começarmos com 1, 1, 2, o próximo termo será 4. Esta sequência será, então: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012...

A sequência Tetrabonacci segue o mesmo princípio da Tribonacci, só que se considera quatro termos iniciais. Um dos exemplos é: 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337...

Os Repfigits (nome muito estranho que se originou de repetitive Fibonacci-like digit) também são conhecidos como número de Keith. Quando se começa uma sequência de Fibonacci com dois números quaisquer e se encontra um inteiro constituído pelos algarismos iniciais, então este número é considerado um Repfigit. Por exemplo, um dos repfigits é 47 porque, se iniciarmos uma série com 4 e 7, a sequência será 4, 7, 11, 18, 29, 47. Os primeiros repfigits são 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647 e 7909.

Dica: Experimente a Calculadora Fibonacci que está na Caixa de Ferramentas da Escolinha da Aldeia.

Existem mais uma porção de coisas interessantes a respeito dos números de Fibonacci, além das muitas que ainda podemos descobrir. Assim que tiver algum tempo vou contar mais alguns segredos. Me aguardem

vovó Vicki

Fonte

• Fibonacci Numbers and the Golden Section do Dr. Ron Knott.